Two subfactors arising from a non-degenerate commuting square —Tensor categories and TQFT’s— 佐藤信哉（東大数理）

§はじめに (V. F. R. Jones の問題)

1996 年 3 月の数理研における研究集会「パラグループの理論とその応用」において，私は，次の V. F. R. Jones の問題を解決したことを報告した [1]． V. F. R. Jones の問題とは，次のとおりである．

有限次元 non-degenerate commuting square を考える．

\begin{aligned}R_{00} & ⊂ & R_{01} \\ ∩ & & ∩ \\ R_{10} & ⊂ & R_{11} \end{aligned}

そこから縦，横両方向に basic construction を繰り返すことにより，周期 2 の commuting square の二重列を得る．

R_{00}  ⊂  R_{01}  ⊂  R_{02}  ⊂ ⋯ ⊂ N = R_{0∞}
∩  ∩  ∩  ∩
R_{10}  ⊂  R_{11}  ⊂  R_{12}  ⊂ ⋯ ⊂ M = R_{1∞}
∩  ∩  ∩  ∩
R_{20}  ⊂  R_{21}  ⊂  R_{22}  ⊂ ⋯ ⊂ M_{1} = R_{2∞}
∩  ∩  ∩  ∩
⋮  ⋮  ⋮  ⋮
∩  ∩  ∩
P = R_{∞0} ⊂ Q = R_{∞1} ⊂ Q_{1} = R_{∞2} ⊂ ⋯

これにより，縦方向，横方向それぞれに AFD II_{1} factor の Jones tower P ⊂ Q ⊂ Q_{1} ⊂ Q_{2} ⊂ ⋯, N ⊂ M ⊂ M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ ⋯ を得る．この時，二つの subfactor N ⊂ M, P ⊂ Q は何か関係があるか，また，一方が finite depth ならば，もう一方も finite depth であるか．これが， V. F. R. Jones の問題である．はじめの問いに対する解答は，二つの subfactor は， global index が等しいという関係で与えられ，二つ目の問いに対しては，肯定的な解答を得た．いずれの問題に対しても， paragroup 理論における flatness が問題解決のキーポイントである．今回の講演では，この二つの subfactor のより一般的な関係について，新しい結果 [2] を得たので，それについて説明したい．

§Tensor category と TQFT

前回の時と同様に， 4 つの finite,bipartite,connected graph とその上の biunitary connection W があるとする．ここから， string algebra 構成法によって，上のように AFD II_{1} subfactor N ⊂ M, P ⊂ Q を得る．一方， Jones index 有限で， finite depth な AFD II_{1} subfactor N ⊂ Mから paragroup のデータを構成し，そのデータから， 3 次元多様体の triangulation に基づく， Turaev-Viro 型の topological quantum field theory (TQFT) を構成できることが， A. Ocneanu によって示されている．この時，次の定理が成り立つ．定理 (Theorem 2.3, [2])

W が∗-flat の時， N-N bimodule のなす tensor category と P -P bimodule のそれとは複素共役である．特に，これらの subfactor から得られる TQFT は複素共役である．

この定理の証明において，重要な役割を果たすのが flatness,parallel transport 及び A. Ocneanu によって導入された概念である open string bimodule である．

一般の場合には次の定理が成り立つ．定理 (Theorem 2.4, [2])

上の二つの subfactor N ⊂ M, P ⊂ Q から得られる TQFT は複素共役である．この定理の典型的な例は， Dynkin diagram E_{6}から得られる biunitary connection であ

る．この biunitary connection は flat である事が知られているので，上のはじめの定理が使える． N ⊂ M, P ⊂ Q にから得られる TQFT は，実際に，複素共役の関係にある事が知られている．また， Dynkin diagram E_{7}から得られる biunitary connection は，２つあるのだが，いずれも flat ではない事が知られている．しかし，縦，横の subfactor から得られる TQFT は，互いに複素共役の関係にある事が上の定理より知られる．一方，この場合には， subfactor N ⊂ M と P ⊂ Q は anti-isomorphic であることから， subfactor から得られる TQFT の一般論より，これらの subfactor から得られる TQFT は，実数に値を取ることがわかる．

Subfactor 理論においても，量子群における quantum double の類似物があり，それは asymptotic inclusion といわれる．これは，与えられた AFD II_{1} subfactor から，新しい AFD II_{1} subfactor M ∨ (M′ ∩ M_{∞}) ⊂ M_{∞}を構成する方法である．ただし，ここで， M_{∞} = ∨_{k=−1}^{∞}M_{k}である．与えられた AFD II_{1} subfactor が有限群 G を用いて， N ⊂ N × G と接合積で表されている場合には，この subfactor に asymptotic inclusion を適用したときの M_{∞}- M_{∞} bimodule の fusion rule algebra が，「有限群 G の quantum double」を与えることが知られている．上で得た二つの subfactor N ⊂ M, P ⊂ Q のそれぞれにこの asymptotic inclusion を適用すると，新しい AFD II_{1} subfactor M ∨ (M′ ∩ M_{∞}) ⊂ M_{∞}, Q ∨ (Q′ ∩ Q_{∞}) ⊂ Q_{∞} を得る．この時，上の定理の応用として，次の結果を証明することができる．系 (Corollary 2.5, [2])

それぞれの fusion graph が連結である時， M_{∞}-M_{∞} bimodule のなす tensor category と Q_{∞}-Q_{∞}のそれとは同型である．

これの意味するところは，有限次元 non-degnerate commuting square から得られる，縦，横の二つの subfactor の「quantum double」は同じであるということである．

§参考文献

[1] N. Sato, Two subfactors arising from a non-degenerate commuting square —An answer to a question raised by V. F. R. Jones—, to appear in Pac. J. Math.

[2] N. Sato, Two subfactors arising from a non-degenerate commuting square II —Tensor categories and TQFT’s—, to appear in Internat. J. Math.