概均質ベクトル空間と弱球等質空間

佐藤文広（立教大学理学部）

弱球等質空間とは耳慣れない用語であろうが, 定義は次のようなものである.

定義 G を reductive 代数群, H をその閉部分群とする. 等質空間 X = H\G は, G の（G と異なる）放物型部分群 P の作用について Zariski-開な P -軌道が存在するとき, 弱球等質空間という. P を具体的に指示したいときは, P -spherical ということにする.

Berel 部分群 B について B-spherical のとき球等質空間というのは, いまや標準的用語であるが, その安直な拡張である.

以下では, 概均質ベクトル空間と G = GL_{n} としたときの弱球等質空間とはほとんど同等の概念であることに注意した後, 概均質ベクトル空間のゼータ関数や基本定理を弱球等質空間に対する概念や定理に書き換えたとき, どのような新しい視野が開けるかについて, とくに関数等式の形の明示的計算というテーマを中心にして報告する.

1. 概均質ベクトル空間とそのゼータ関数

2. 概均質ベクトル空間と弱球等質空間

3. 関数等式の読み替え

4. 関数等式と Weyl 群, 関数等式の分解

5. 具体例

1 概均質ベクトル空間とそのゼータ関数

まず, 概均質ベクトル空間のゼータ関数について基本的な性質を（後の議論に関係ないところは極めていいかげんな形で^{1}）復習しておく. G を連結線形代数群, V を有限次元ベクトル空間とし, G の V 上の有理表現 ρ : G ⟶ V を考える. このとき, 三つ組 (G, ρ, V) が概均質ベクトル空間であるとは, Zariski-開な G-軌道 V′ ⊂ V が存在することを意味するのであった. Zariski-開軌道 V′ の補集合を特異集合といい, S で表す. 以下, (G, ρ, V)

1正確な定義や必要な仮定など, 詳しいことは [S1] を参照してください.

は有理数体 ℚ 上定義されているものとしよう. 特異集合 S から

S = ⋃_{i=1}^{n} {v ∈ V | f_{i}(v) = 0} ⋃{ 余次元 ≥ 2 の成分達}

と ℚ 上既約な超曲面の成分を取り出しその (もちろん ℚ 上既約な）定義多項式 f_{1}, …, f_{n} をとる. これらの多項式を（ℚ 上の) 基本相対不変式という.

概均質ベクトル空間の理論の結論は,

（若干の仮定の下で） f_{1}, …, f_{n} から関数等式を満たすゼータ関数を構成できる

ということであった.

ゼータ関数の大雑把な定義を与えよう. まず, G-開軌道 V′ の実点の集合 V′(ℝ) を G(ℝ)- 軌道分解して,

V′(ℝ) = V_{1} ⋃ ⋯ ⋃ V_{ν}

と表す. 実の軌道の個数 ν は有限であることが知られている. V (ℚ) の格子 L をとる. 簡単のため, L 上で基本相対不変式 f_{1}, …, f_{n} は ℤ-値を取るとしよう. さて, 各 G(ℝ)-軌道 V_{i} ごとに,

{ f_{1}(x) = ±m_{1}, ; ⋮ ; f_{n}(x) = ±m_{n}, (x ∈ L ∩ V_{i})

という不定方程式を考える. ここで, m_{1}, …, m_{n} ∈ ℕ である. この不定方程式の解集合は一般には無限集合になり得るが, (若干の仮定の下で）解集合の大きさを測る測度を定義できる（不定値二次形式に対して Siegel が行った方法の一般化） . その測度を μ_{i}(L; m_{1}, …, m_{n}) (i = 1, …, ν) と表す. このとき, ゼータ関数は

ζ_{i}(L, s_{1}, …, s_{n}) = ∑_{m_{1},... ,m_{n}=1}^{∞} \frac{μ_{i}(L; m_{1}, …, m_{n})}{m_{1}^{s_{1}} ⋯ m_{n}^{s_{n}}}

によって定義される. このゼータ関数が ℜ(s_{1}), …, ℜ(s_{n}) が十分大きいときに絶対収束することは, [Sai] によりかなり一般的に証明されている.

次に, |f(v)|_{j}^{s} を

|f(v)|_{j}^{s} = \{ \begin{matrix}∏_{i=1}^{n} |f_{i}(v)|^{s_{i}} , & v ∈ V_{i}, \\ 0, & v ∉ V_{i}, \end{matrix}

（の解析接続）として与えられる (超) 関数とし, 無限素点における局所ゼータ関数 (一般ガンマ積分) を

Γ_{j}(ϕ; s) = ∫ |f(v)|_{j}^{s} ϕ(v) dv （ϕ(v) は V (ℝ) 上の急減少関数）

によって定義しよう. この積分は, 少なくとも ℜ(s_{1}), …, ℜ(s_{n}) > 0 のときには絶対収束し, ℂ^{n} 上の有理型関数として解析接続される.

さて, ゼータ関数の関数等式とは, 概均質ベクトル空間 (G, ρ, V) のゼータ関数と, 双対的な概均質ベクトル空間 (G, ρ^{∗}, V^{∗}) のゼータ関数とを結ぶ等式である. ここで, V^{∗} は V の双対空間であり, ρ^{∗} は

⟨ρ(g)v, ρ^{∗}(g)v^{∗}⟩ = ⟨v, v^{∗}⟩ (g ∈ G, v ∈ V, v^{∗} ∈ V^{∗})

によって定まる双対空間 V^{∗} 上の G の有理表現である. さて, 双対的な三つ組 (G, ρ^{∗}, V^{∗}) は, 一般には概均質ベクトル空間になるとは限らないが, (G, ρ, V) が正則, すなわち,

det(∂^{2}f/∂v_{i}∂v_{j}) ≢ 0

となるような相対不変式 f が存在するときには概均質ベクトル空間となり, (G, ρ, V) の持つ多くの性質が (G, ρ^{∗}, V^{∗}) に引き継がれる. たとえば, （ℚ 上の）基本相対不変式の個数 n, G(ℝ)-開軌道の個数 ν などは変わらない. したがって, 双対概均質ベクトル空間 (G, ρ^{∗}, V^{∗}) に対しても各 G(ℝ)-開軌道に対応して ν 個の n 変数ゼータ関数, 局所ゼータ関数が定義される. それらを,

ζ_{i}^{∗}(L^{∗}; s) = dual のゼータ関数, L^{∗} = L の双対格子
Γ_{i}^{∗}(ϕ^{∗}; s) = dual の局所ゼータ関数

としよう.

簡単のため相対不変式 1 個, すなわち, 1 変数ゼータ関数が得られる場合を考えると, ゼータ関数は ℂ 上の有理型関数に解析接続され, その関数等式は

ζ_{i}^{∗}(L^{∗}, κ − s) = vol(V (ℝ)/L) ∑_{j=1}^{ν} γ_{ij}(s)ζ_{j}(L, s), κ = dim V/ deg f

の形で与えられる. ここで, 関数等式の係数 γ_{ij}(s) がガンマ関数と指数関数を用いた表示を持つことは（その explicit な形は別として〕分かっている. この関数等式は, ゼータ関数の積分表示と局所ゼータ関数の関数等式

Γ_{j}(ϕ, s − κ) = ∑_{i=1}^{ν} γ_{ij}(s)Γ_{i}^{∗}(ϕ̂, −s), ϕ̂ は ϕ の Fourier 変換

から証明されるのであった. したがって, ゼータ関数の関数等式の具体形は局所ゼータ関数の関数等式から, すなわち ℝ 上の解析から得られる. これらの結果は, 多変数ゼータ関数にも一般化される（[S1]） .

イメージが湧くように, 局所ゼータ関数の具体例を少し並べておく.

例： (1) (GL_{1}, V (1)), f(x) = x

∫_{ℝ^{×}} |x|^{s−1} ϕ(x) dx = 2(2π)^{−s}Γ(s) cos \frac{πs\sqrt{−1}}{2} ∫_{ℝ^{×}} |x|^{−s} ϕ̂(x) dx

(2) (GL_{1} × SO(p, n − p), V (n)), f(x) = x_{1}^{2} + ⋯ + x_{p}^{2} − x_{p+1}^{2} − ⋯ − x_{n}^{2}

∫_{f(x)>0} |f(x)|^{s−n/2} ϕ(x) dx = A_{+}(s) ∫_{f(x)>0} |f(x)|^{−s} ϕ̂(x) dx + A_{−}(s) ∫_{f(x)<0} |f(x)|^{−s} ϕ̂(x) dx,

\begin{matrix}A_{+}(s) \\ A_{−}(s) \end{matrix} \} = π^{−(2s− \frac{n}{2} +1)}Γ (s − \frac{n}{2} + 1) Γ(s) × \{ \begin{matrix}cos π (s − \frac{p−1}{2}) \\ sin & \frac{pπ}{2} \end{matrix}

多変数の場合の例もあげておこう.

(3) (SO(m) × P_{e_{1},... ,e_{r}}, M_{m,n}), f_{i}(v) = d_{i}(^{t}vv), f_{i}^{∗}(v) = d_{i}^{∗}(^{t}vv) (1 ≤ i ≤ r). ここで, d_{i}(A) は A の左上 n_{i} 次小行列式, d_{i}^{∗}(A) は A の右下 n_{i}^{∗} 次小行列式, ただし, n_{i} = e_{1} + ⋯ + e_{i}, n_{i}^{∗} = e_{r−i+1} + ⋯ + e_{r} とおいた.

∫_{M_{m,n}(ℝ)} ∏_{i=1}^{r} |f_{i}(v)|^{s_{i}} ϕ(v) dv = \frac{Γ_{0}(s)}{Γ_{0}(s^{∗})} ∫_{M_{m,n}(ℝ)} ∏_{i=1}^{r} |f_{i}^{∗}(v)|^{s_{i}^{∗}} ϕ̂(v) dv,

s_{i}^{∗} = \{ \begin{matrix}s_{r−i}, & i = 1, …, r − 1 \\ −\frac{m}{2} − s_{1} − ⋯ − s_{r}, & i = r \end{matrix}

Γ_{0}(s) = ∏_{{1≤i≤r \atop 1≤j≤n_{i}−n_{i−1}}} Γ_{ℝ}(2(s_{i} + ⋯ + s_{r}) + m − n_{i} + k)

ここで, Γ_{ℝ}(z) = π^{−z/2}Γ(z/2) である.

以下では, この局所ゼータ関数の関数等式に現れる γ_{ij}(s) の明示的な計算に焦点を当てて話を進めることとしよう. 計算法としては, これまで

• ϕ(v) = exp(−π⟨v, v⟩) に対し, Γ_{i}(ϕ, s) を explicit に計算, 例えば上の例 3.

• 上手な変数変換で, 既知の場合（上の例 1, 2 など）に帰着

• 超局所解析（M.Sato-Kashiwara-Miwa, Suzuki, Muro)

などの方法が用いられ, 特に超局所解析の方法は強力で多くの概均質ベクトル空間に対して関数等式の明示的な計算が行われた. しかし, 既約正則な概均質ベクトル空間の split form に限っても,

• (SL_{3} × GL_{2}, 2Λ_{1} ⊗ Λ_{1})

• (Spin_{10} × GL_{3}, half-spin ⊗ Λ_{1})

• (SL_{5} × GL_{3}, Λ_{2} ⊗ Λ_{1})

• (SL_{5} × GL_{4}, Λ_{2} ⊗ Λ_{1})

{（ここで, Λ_{1} は GL_{n} の通常の n 次元表現, 2Λ_{1} は 2 階対称テンソル表現, Λ_{2} は \atop 2 階交代テンソル表現を表す)}

などの空間については, 計算がなされずに残っていた. 以下の節では, 弱球等質空間という見方に立つと,

関数等式を Weyl 群の作用の下での不変性に読み替え ⟹ 単純鏡映への関数等式の分解

という戦略が可能になり, (Spin_{10} × GL_{3}, half-spin ⊗ Λ_{1}), (SL_{5} × GL_{3}, Λ_{2} ⊗ Λ_{1}) という 2 つの空間に対しては, 関数等式の具体形が計算できるようになるということを説明する. (注意：上記の 4 つの空間のうち残り 2 つについては, この方法は残念ながら適用できない. )

2 概均質ベクトル空間と弱球等質空間

この節では, 一般線形群 GL_{m} の作用する弱球等質空間と概均質ベクトル空間の関係を説明する（§2 – §4 の詳細については, [S2], [S4] を参照). H を GL_{m} の閉部分群とし, 等質空間 X = H\GL_{m} を考える. X が弱球等質空間であるとは, ある放物型部分群 P ⊂_{≠} GL_{m} に対し, X に Zariski-開な P -軌道が存在することであった. ここで, P としては標準的放物型部分群, すなわち, 分割 m = e_{1} + ⋯ + e_{r} に対して,

P_{e_{1},... ,e_{r}} = \{( \begin{matrix}p_{11} & p_{12} & ⋯ & p_{1r} \\ & p_{22} & ⋯ & p_{2r} \\ & & ... & ⋮ \\ 0 & & & p_{rr} \end{matrix} ) ∈ GL_{m} | p_{ij} ∈ M(e_{i}, e_{j})\}

とブロック上三角型となるような部分群を考えればよい.

さて, H ⊂ GL_{m} に対し, G = H × GL_{n} とおく. G の V = M(m, n) 上の表現

ρ(h, g)v = hvg^{−1} (h ∈ H, g ∈ GL_{n}, v ∈ V)

を考える. このとき,

(G, ρ, V) が概均質ベクトル空間 ⟺ X = H\G が P_{n,m−n}-spherical

であることは, この 2 つの条件がともに

H\GL_{m}/P_{n,m−n} が open double coset を有する

に同値であることから容易に分かる.

G の定義で GL_{n} を P^{(0)} = P_{e_{1},... ,e_{r}} (e_{1} + ⋯ + e_{r} = n) で置き換えて, G = H × P^{(0)} とすると,

(G, ρ, V) が概均質ベクトル空間 ⟺ X = H\G が P -spherical (P = P_{e_{1},... ,e_{r},m−n})

とちょっと一般化される.

この同値性自体は簡単な注意に過ぎないが,

(G, ρ, V) の話を P -spherical な等質空間 X の話に読み替える

というこれまた簡単なアイディアによって, ゼータ関数の関数等式についてこれまで見えないものが見えてくるようになるのである. 一般線形群の直積 GL_{m_{1}} × ⋯ × GL_{m_{s}} の作用する弱球等質空間も同様に, 概均質ベクトル空間を対応させることができることに注意しておく.

3 関数等式の読み替え

以下の節では, H は非自明な ℚ-有理指標を持たず, また基本相対不変式の個数は P^{(0)} のブロック分けの数 r に等しいと仮定する（これらは, それほどの制限にはならない） .

まず, X = H\GL_{m} という空間を

X(ℝ) ∋ Hg ⟼ (g^{−1}Hg × P^{(0)}, ρ, V)

という対応によって, （実数体上定義された）概均質ベクトル空間をパラメトライズする空間と考える. 続いて, その概均質ベクトル空間には局所ゼータ関数が定まっていることに注意すれば, 次のような X(ℝ) 上の関数を局所ゼータ関数から作り出すことができる：

X(ℝ) ∋ Hg ⟼ (g^{−1}Hg × P, ρ, V) ⟼ Γ_{j}(Hg, ϕ, s) = |det g|^{s_{0}} ∫ |f(gv)|_{j}^{s} ϕ(v) dv.

こうして得られた X(ℝ) 上の関数をさらに SO(m) で平均すると,

(♯)  Γ_{j}^{SO(m)}(Hg, ϕ, s) = |det g|^{s_{0}} ∫_{SO(m)} |f(gkv_{0})|_{j}^{s} dk × ∫ ∏_{i=1}^{r} |d_{i}(^{t}vv)|^{s_{i}} ϕ(v) dv

と分解することが分かる. ここで, 右辺の第 1 因子は試験関数としてとった ϕ にはよらず, 第 2 因子は ϕ にはよるが概均質ベクトル空間を定める H という群には無関係であることに注意しよう. より詳しく言うと, 第 2 因子は §1 の関数等式の具体例の (3) で与えられている局所ゼータ関数に他ならない. さて, 第 1 因子を λ をパラメータとする X(ℝ) 上の SO(m)-不変関数とみなして,

ω_{j}(P; Hg, λ) = |det g|^{s_{0}} ∫_{SO(m)} |f(gkv_{0})|_{j}^{s} dk

とおこう. ただし, λ = (λ_{1}, …, λ_{r+1}) ∈ ℂ^{r+1} は, p ∈ P の対角線に現れるブロックを順に p_{1}, …, p_{r+1} としたとき, s と次の関係で結ばれている複素パラメータである：

|det(gp^{−1})|^{s_{0}} |f(gp^{−1}v_{0})|_{j}^{s}

= |det g|^{s_{0}} |f(gv_{0})|_{j}^{s} · (∏_{i=1}^{r+1} |det p_{i}|^{λ_{i}}) · |det Ad(p)|_{Lie(R_{u}(P))}|^{−1/2} .

関数 ω_{j}(P; Hg, λ) は “X の球関数” というべきものであり, [O] の意味での “超幾何関数” の例にもなっている.

さて, 局所ゼータ関数の分解式 (♯) を見ると, 左辺と右辺の第 2 因子とは概均質ベクトル空間の局所ゼータ関数であり関数等式を満たす. よって, 球関数も何らかの関数等式を満たすはずであるが, 実際, 次の図式に従って概均質ベクトル空間の局所ゼータ関数の関数等式を X の球関数の関数等式に読み替えてやることができる.

(G, ρ, V) が概均質ベクトル空間 ⟺ X = H\G が P -spherical
↓ 概均質ゼータの関数等式↓ ω_{i} の関数等式
(G, ρ^{∗}, V^{∗}) が概均質ベクトル空間 ⟺ X = H\G が P^{w}-spherical

ここで, P^{w} は P の区分けを巡回置換

w = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & ⋯ & r + 1 \\ r + 1 & 1 & 2 & ⋯ & r \end{matrix} )

によって変換したものである. 以上の手続きを実行してやると,

(∗) ω_{j}(P; Hg, λ) = ∑_{i=1}^{ν} \frac{γ_{ij}(s)}{γ_{0}(s)}ω_{i}(P^{w}; Hg, wλ)

という球関数の関数等式が得られる. ここで, wλ は λ = (λ_{1}, …, λ_{r+1}) を巡回置換 w によって変換したものであり, γ_{ij}(s) は (♯) の左辺の局所ゼータの関数等式の係数, γ_{0}(s) = Γ_{0}(s)/Γ_{0}(s^{∗}) は (♯) の右辺第 2 因子, すなわち §1 の例 (3) の局所ゼータの関数等式の係数である.

関数等式 (∗) が何らかの方法で示されれば, それから逆に概均質ベクトル空間 (G, ρ, V) のゼータ関数の関数等式が導かれることを注意しておく.

4 関数等式と Weyl 群, 関数等式の分解

GL_{m} の Weyl 群の元 w を

w = ( \frac{E_{n}}{E_{m−n}} )

と定めると, 前節の球関数の関数等式の変数変換 λ ↦ wλ は Weyl 群の元 w が引き起こす P の split component から P^{w} の split component への写像から誘導されたものと見ることができる. このように (∗) を Weyl 群の作用に関する関数等式とみなすならば,

“w が Weyl 群の中でより簡単な元の積に分解できる ⟹ 関数等式も, より elementary なものの積に分解する”

のではないかという推測が生まれる. この推測は次のようにして実際のものとなる.

P を真に含む放物型部分群 Q をとる（Q = GL_{m} でもかまわない） . X は P -spherical であるから, もちろん Q-spherical でもある. X の開 Q-軌道の点 x_{0} ∈ X をとり,

Q_{x_{0}} = {q ∈ Q | x_{0}q = x_{0}}

とおく. Q の Levi 部分群を L_{Q}, Q の unipotent radical を N_{Q} とする. P_{Q} := P ∩ L_{Q} は L_{Q} の放物型部分群になっている. 自然な全射 proj : Q → Q/N_{Q} ≅ L_{Q} による Q_{x_{0}} の像として, L_{Q} の部分群

H_{Q} = proj(Q_{x_{0}}) ⊂ L_{Q}

を定義する. このとき, X_{Q} = H_{Q}\L_{Q} は P_{Q}-spherical である. L_{Q} は一般線形群の直積であるから, この弱球等質空間 X_{Q} に対しても, 概均質ベクトル空間が対応する. これは出発点にとった概均質ベクトル空間より次元の低い小さな概均質ベクトル空間となっており, その構造はより簡単であると期待できる. この小さい概均質ベクトル空間が正則ならば, 付随するゼータ関数は関数等式を満たし, さらにそれは §3 で説明した手続きで L_{Q} の Weyl 群のある元 w_{Q} の作用に関する球関数の関数等式に読み替えられる. このようにして得られた関数等式は, L_{Q} の Weyl 群を GL_{m} の Weyl 群の部分群とみなし, w_{Q} を GL_{m} の Weyl 群の元と考えるとき, もともとの空間 X の球関数の関数等式に次の形で反映してくるのである.

ω_{j}(P; Hg, λ) = ∑_{i} c_{ij}(s)ω_{i}(P^{w_{Q}}; Hg, w_{Q}λ)

ここで, Q = G の場合には, もともとの概均質ベクトル空間のゼータ関数の関数等式から導かれる関数等式となっているのだが, Q ≠ G のときには, もともとの概均質ベクトル空間のみを眺めていては発見できない関数等式が現れてくる. さらに, Q = G の場合に登場する Weyl 群の元を Q ≠ G の場合に登場する Weyl 群の元の積として分解することができれば, 関数等式そのものがより基本的な関数等式に分解させられることになるのである. 次節では, このことを具体例によって説明する.

5 具体例 (SL_{5} × GL_{3}, Λ_{2} ⊗ Λ_{1})

§1 の終わりで述べたように, 前節のアイディアで (Spin_{10} ×GL_{3}, half-spin⊗Λ_{1}), (SL_{5} × GL_{3}, Λ_{2} ⊗ Λ_{1}) という概均質ベクトル空間のゼータ関数の関数等式の明示的な計算が可能になる. Spin_{10} × GL_{3} の作用する空間の場合は, [S3], [S5] で扱っている. ここでは, 最近, K. Sugiyama, T. Kimura, T. Kogiso の 3 氏とともに行った SL_{5} × GL_{3} の作用する空間の場合を紹介する.

(SL_{5}×GL_{3}, Λ_{2}⊗Λ_{1}) は, 既約正則概均質ベクトル空間でその基本相対不変式 f_{1} は 15 次式である. 前節のアイディアを実行するには, 作用している群の GL_{3} の部分をその Borel 部分群 P_{1,1,1} で置き換えて得られる (SL_{5}×P_{1,1,1}, Λ_{2}⊗Λ_{1}) を考える必要がある. このように群を小さくしても引き続き概均質であることがポイントである. 空間 (SL_{5}×P_{1,1,1}, Λ_{2}⊗Λ_{1}) において f_{0} が相対不変式であることはもちろんだが, 基本相対不変式としては f_{1} に加えて,

f_{2} = 5 次式, f_{3} = 10 次式

が現れ, 3 変数のゼータ関数を考えることになる. もともとの空間 (SL_{5} × GL_{3}, Λ_{2} ⊗ Λ_{1}) のゼータ関数は f_{2}, f_{3} に対応する変数を特殊化して

\begin{aligned}|f_{1}|^{s_{3}} |f_{2}|^{s_{2}} |f_{3}|^{s_{3}} & ⟶ & |f_{1}|^{s_{1}} \\ & s_{2}, s_{3} → 0 \end{aligned}

とすることで得られるから, この 3 変数ゼータ関数の関数等式を考えればよい.

では, 概均質ベクトル空間の描像から弱球等質空間の描像へと移ろう. まず, SL_{5} を 2 階交代テンソル表現による像と同一視して, GL_{10} の部分群と考える. このとき, 概均質ゼータの関数等式を球関数の関数等式に読み替える図式は

(SL_{5} × P_{1,1,1}, Λ_{2} ⊗ Λ_{1}) が概均質 ⟺ X = SL_{5}\GL_{10} が P_{1,1,1,7}-spherical
↓ 概均質ゼータの関数等式↓ ω_{i} の関数等式
dual (SL_{5} × P_{1,1,1}, Λ_{2}^{∗} ⊗ Λ_{1}^{∗}) が概均質 ⟺ X = SL_{5}\GL_{10} が P_{7,1,1,1}-spherical

となっており, 球関数の関数等式を引き起こす Weyl 群の元は

w = ( \begin{matrix}& E_{3} \\ E_{7} \end{matrix} )

である. さて, [KKO] により

“GL_{10} の標準的放物型部分群 P について X = SL_{5}\GL_{10} が P -spherical となるための必要十分条件は, P が

P_{1,1,1,7}, P_{1,1,7,1}, P_{1,7,1,1}, P_{7,1,1,1}

のいずれかを含むことである. ”

が知られている. 我々は, このうち, P_{1,1,1,7} に対応する球関数と P_{7,1,1,1} に対応する球関数とを結ぶ関数等式に関心を持っているのだが, この場合には前節で説明した関数等式の分解が, 次の P_{1,1,7,1}, P_{1,7,1,1} を中間項とする 3 段階の分解として実現している.

ω_{i}(P_{1,1,1,7}; Hg, λ)

Q = P_{1,1,8} ↕ w_{Q} = ( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & & 1 \\ & & E_{7} \end{matrix} )

ω_{i}(P_{1,1,7,1}; Hg, λ)

Q = P_{1,8,1} ↕ w_{Q} = ( \begin{matrix}1 \\ & & 1 \\ & E_{7} \\ & & & 1 \end{matrix} )

ω_{i}(P_{1,7,1,1}; Hg, λ)

Q = P_{8,1,1} ↕ w_{Q} = ( \begin{matrix}& 1 \\ E_{7} \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} )

ω_{i}(P_{7,1,1,1}; Hg, λ)

各ステップは, それぞれ 8 次元の概均質ベクトル空間の関数等式から得られる関数等式である. それらの空間の構造は

Q = P_{1,1,8} 8 次元 solvable 群の作用する 8 次元 pv
Q = P_{1,8,1} (GL_{1}^{2} × SL_{2} × SL_{2}, M(2) ⊕ V (2) ⊕ V (2))
Q = P_{8,1,1} P_{1,1,8} の場合の dual

となっている. 詳細は, 現在準備中の [KKSS] で発表する予定であるので省略するが, 幸いにもこれらの空間は, もともとの 30 次元の概均質ベクトル空間に比べれば格段にやさしい空間で, 関数等式も既存のテクニックで計算されるのである.

注意：(a) SL_{5}\GL_{10} の球関数は, P_{1,1,1,7}, P_{1,1,7,1}, P_{1,7,1,1}, P_{7,1,1,1} に対応するもの全体が 4

次対称群 S_{4} による関数等式を満たすことになる.

(b) ゼータ関数についても同様の書き換えができ, S_{4}-対称性を満たすゼータ関数の組が得られる.

(c) 弱球等質空間による解釈は, 概均質ベクトル空間と GL_{m} の退化主系列表現との間に密接な関係があることを示している. このことの意味は大きいが, あらためて説明する機会を得たい.

参考文献

[KKO] S. Kasai, T. Kimura and S. Otani, A classification of simple weakly spherical homogeneous spaces (I), J. Algebra 109(1996), 277–304.

[KKSS] T. Kimura, T. Kogiso, F. Sato and K. Sugiyama, in preparation.

[O] T. Oshima, Generalized Capelli identities and boundary value problems for GL(n), Structures of Solutions of Differential Equations, Katata/Kyoto 1995, 307–335, World Scientific, 1996.

[Sai] H. Saito, Convergence of the zeta functions of prehomogeneous vector spaces, preprint.

[S1] F. Sato, Zeta functions in several variables associated with prehomogeneous vector spaces I: Functional equations, Tôhoku Math. J. 34(1982), 437–483.

[S2] F. Sato, Eisenstein 級数と概均質ベクトル空間のゼータ関数, Rokko Lectures in Math. No.2, 神戸大学理学部数学教室, 1996.

[S3] F. Sato, Zeta functions of prehomogeneous vector spaces and weakly spherical homogeneous spaces, 数理解析研究所講究録 No.999(1997), –.

[S4] F. Sato, Eisenstein series on weakly spherical homogeneous spaces of GL(n), Tôhoku Math. J. 50(1998), 23–69.

[S5] F. Sato, Eisenstein series on Spin(10)\GL(16), preprint.