概均質ベクトル空間のゼータ関数と Koecher-Maass 級数

佐藤 文広（立教大学理学部）

概要

このノートでは, 概均質ベクトル空間に付随する保型形式付きゼータ関数の一般論の概略を説明した後, Siegel 保型形式（とくにテータ級数）に付随する Koecher-Maass 級数が概均質ベクトル空間の理論の立場からどのように理解できるかを解説する.

I. 概均質ベクトル空間に付随する保型形式付きゼータ関数

このノートでは概均質ベクトル空間について第一歩から説明は出来ないので, 定義や基本的性質については [S1, §1], [SK], およびまもなく出版予定の [K] を参照されたい. とくに, [K] は初歩からのもっとも詳しい入門書である.

また, 第 I 節で紹介する保型形式付きゼータ関数の理論は, 詳しくは [S4], [S5] に述べられている.

I.1 概均質ベクトル空間

(G, ρ, V) を有理数体 ℚ 上定義された概均質ベクトル空間とし, S でその特異集合を表す. 定義により, V_{ℂ} − S_{ℂ} は単一の G_{ℂ}-軌道になっている.

S_{1}, …, S_{n} を S に含まれる ℚ-既約な超曲面とし, S_{1}, …, S_{n} を定義する ℚ-上の既約多項式を, それぞれ, P_{1}, …, P_{n} とする. このとき, 多項式 P_{i} は 0 でない有理数倍を除いて一意的であり, 各 i = 1, …, n に対して, G の ℚ-有理指標 χ_{i} で

P_{i}(ρ(g)x) = χ_{i}(g)P_{i}(x) (g ∈ G, x ∈ V)

を満たすものが存在する. これらの P_{1}, …, P_{n} を ℚ 上の基本相対不変式という.

指標 χ_{1}, …, χ_{n} で生成される G の ℚ-有理指標の群 X(G)_{ℚ} の部分群を X_{ρ}(G)_{ℚ} で表す. この部分群は階数 n の自由アーベル群である. x ∈ V に対し

G_{x} = {g ∈ G | ρ(g)x = x}

とおく.

以下, 次を仮定しよう：

(A-1) 任意の x ∈ V_{ℚ} \ S_{ℚ} に対し, isotropy 部分群 G_{x} は reductive であり, その単位元連結成分 (G_{x})^{∘} の ℚ-有理指標の群 X((G_{x})^{∘})_{ℚ} は自明である：

X((G_{x})^{∘})_{ℚ} = {1}.

また, 群 G の次のような分解が一つ指定されているとする：

(A-2) G = LU, ここで L は連結な reductive ℚ-部分群, U は連結正規 ℚ-部分群で X(U) = {1} を満たす.

G_{0} を ⋂_{i=1}^{n} ker χ_{i} の Zariski 位相に関する単位元連結成分とする. L_{0} = L ∩ G_{0} とおく.

このとき L_{0} は連結で, G_{0} = L_{0}U と半直積に分解される.

T を L の中心 Z(L) の単位元連結成分の最大 ℚ-split トーラスとする. このとき, dim T = rank X(G)_{ℚ} = rank X_{ρ}(G)_{ℚ} であり, L は T と L_{0} の almost direct product である.

I.2 積分公式

G^{+}, G_{0}^{+}, T^{+}, L_{0}^{+}, U^{+} を, それぞれ, 実 Lie 群 G_{ℝ}, G_{0,ℝ}, T_{ℝ}, L_{0,ℝ}, U_{ℝ} の単位元連結成分（Lie 群としての）とする. このとき,

G^{+} = T^{+}L_{0}^{+}U^{+}, G_{0}^{+} = L_{0}^{+}U^{+}

であり, g ∈ G^{+} は

g = thu (t ∈ T^{+}, g ∈ L_{0}^{+}, u ∈ U^{+})

と一意的に分解される.

仮定 (A-1), (A-2) により, 群 L_{0}^{+}, U^{+} は unimodular である. dt, dh, du を, それぞれ T^{+}, L_{0}^{+}, U^{+} 上の（両側不変） Haar 測度とする. d_{r}g を G^{+} 上の右不変測度とし, Δ : G^{+} ⟶ ℝ_{+}^{×} を d_{r}g の module とする. このとき,

d_{r}g = d_{r}(thu) = Δ(t)dt dh du

という関係が成り立つように, これらの測度を正規化することができる. 仮定 (A-1) から,

Ω(x) = ∏_{i=1}^{n} |P_{i}(x)|^{−δ_{i}}dx, dx = the Lebesgue measure on V_{ℝ}

が Δ を乗法子とする V_{ℝ}\S_{ℝ} 上の G^{+}-相対不変測度を与えるような δ = (δ_{1}, …, δ_{n}) ∈ ℚ^{n} が存在することが分かる.

V_{ℝ} \ S_{ℝ} の連結成分への分解を

V_{ℝ} \ S_{ℝ} = V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{ν}

とする. 各連結成分 V_{i} は単一の G^{+}-軌道である. x ∈ V_{i} に対し, G_{x}^{+} = G_{x} ∩ G^{+} とおく. (A-1) により, 群 G_{x}^{+} は unimodular Lie 群である. G_{x}^{+} 上の（両側不変） Haar 測度 dμ_{x} を

∫_{G^{+}} F (g)d_{r}g = ∫_{V_{i}} Ω(ρ(ġ)x) ∫_{G_{x}^{+}} F (ġh)dμ_{x}(h) (F ∈ L^{1}(G^{+}, d_{r}g))  (1)

が成り立つように正規化しておく.

I.3 ゼータ積分

ϕ : L_{0}^{+} ⟶ W を有限次元複素ベクトル空間 W に値をとる L_{0}^{+} 上の関数で, L_{0,ℚ} ∩ L_{0}^{+} のある数論的部分群による右乗法で不変なものとする. （後に, ϕ は L_{0}^{+} 上の保型形式であると仮定するが, 当面は何でもよい. ）

標準全射 p : G_{0} ⟶ L_{0} = G_{0}/U を考える. 写像 p は実解析的な全射準同型

p : G_{0}^{+} ⟶ L_{0}^{+} = G_{0}^{+}/U^{+}

を引き起こす. G_{0,ℚ} ∩ G_{0}^{+} の数論的部分群 Γ に対し Γ_{L} = p(Γ) ⊂ L_{0}^{+} とおく. このとき, Γ_{L} は L_{0,ℚ} ∩ L_{0}^{+} の数論的部分群である (cf. [Bo, Theorem 6]).

L を V_{ℚ} の格子とし, G_{0,ℚ} ∩ G_{0}^{+} の数論的部分群 Γ で L は Γ-不変, ϕ は Γ_{L}-不変となるものを固定する. さて, ゼータ積分 Z_{ϕ}(f, L; s) (f ∈ S(V_{ℝ})) を

Z_{ϕ}(f, L; s) = Z_{ϕ}(f, L; s_{1}, …, s_{n})  (2)

= ∫_{T^{+}} ∏_{i=1}^{n} χ_{i}(t)^{s_{i}}Δ(t) dt ∫_{G_{0}^{+}/Γ} ϕ(h) ∑_{x∈L−S} f(ρ(thu)x) dh du

と定義する.

以下では,

{(A-3) 任意の f ∈ S(V_{ℝ}) に対し, 積分 Z_{ϕ}(L, f; s) は Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十 \atop 分大きいとき絶対収束する}

と仮定する.

注意. ゼータ関数の収束判定については, [S6] を参照せよ.

I.4 Γ_{L}-不変関数 ϕ の周期

x ∈ V_{ℚ} \ S_{ℚ} に対し Γ_{x} = Γ ∩ G_{x}^{+} とおく. 条件 (A-1) により, Γ_{x} に関する基本領域の体積

μ(x) = ∫_{G_{x}^{+}/Γ_{x}} dμ_{x}

は有限である (dμ_{x} の定義は, (1) を見よ). また,

\begin{aligned}L_{(x)}^{+} & = & p(G_{x}^{+}) (⊂ L_{0}^{+}), & Γ_{(x)} & = & p(Γ_{x}) (⊂ L_{(x)}^{+}), \\ U_{x}^{+} & = & G_{x}^{+} ∩ U^{+}, & Γ_{U,x} & = & Γ_{x} ∩ U^{+} \end{aligned}

とおく. ここで, G_{x}^{+} ⊂ G_{0}^{+} であることに注意する. L_{(x)}^{+}, U_{x} 上の Haar 測度 dν_{x}, dτ_{x} を, それぞれ,

∫_{L_{(x)}^{+}/Γ_{(x)}} dν_{x} = 1, ∫_{U_{x}^{+}/Γ_{U,x}} dτ_{x} = μ(x)

が成り立つように正規化する. このとき, G_{x}^{+} 上の測度として dμ_{x} = dν_{x} dτ_{x} が成り立つ.

V_{ℝ} \ S_{ℝ} の各連結成分 V_{i} から代表点 x_{i} をとり, 等質空間 X_{i} = L_{0}^{+}/L_{(x_{i})}^{+} を考える. すべての x ∈ V_{i} に対し, x = ρ(t_{x}h_{x}u_{x})x_{i} となるような t_{x} ∈ T^{+}, h_{x} ∈ L_{0}^{+}, u_{x} ∈ U^{+} を選んでおく. このとき, V_{i} から X_{i} への写像 ¯ : V_{i} ⟶ X_{i} が x ⟼ x̄ = h_{x} · L_{(x_{i})}^{+} ∈ X_{i} によって定義される. X_{i} の点 x̄ は h_{x} の選び方によらずに定まり, 写像¯は L_{0}^{+}-同変な実解析的写像となっている.

x ∈ V_{ℚ} ∩ V_{i}, y ∈ V_{i} に対して,

M_{x}^{(i)}ϕ(ȳ) = ∫_{L_{(x)}^{+}/Γ_{(x)}} ϕ(h_{y}h_{x}^{−1}η) dν_{x}(η)  (3)

とおき, この積分を ϕ の x における周期という. 我々は M_{x}^{(i)}ϕ を X_{i} 上の関数とみなす.

補題 Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十分大きいとき,

Z_{ϕ}(f, L; s) = ∑_{i=1}^{ν} ∑_{x∈Γ\L∩V_{i}} \frac{μ(x)}{∏_{j=1}^{n} |P_{j}(x)|^{s_{j}}} ∫_{V_{i}} ∏_{j=1}^{n} |P_{j}(y)|^{s_{j}} f(y)M_{x}^{(i)}ϕ(ȳ)Ω(y)

が成り立つ.

I.5 保型形式付きゼータ関数

K を L_{0}^{+} の極大コンパクト群, π を有限次元 Hilbert 空間 W_{π} 上の K の unitary 表現とする. Z(L_{0}^{+}) で L_{0}^{+} 上の両側不変微分作用素のなす多元環を表す. χ : Z(L_{0}^{+}) ⟶ ℂ を無限小指標とする. このとき, 関数 ϕ : L_{0}^{+} ⟶ W_{π} が以下の条件を満たすならば, Γ_{L} に関するタイプ (χ, π) の保型形式といわれる：

Dϕ = χ(D)ϕ  (D ∈ Z(L_{0}^{+})),
ϕ(khγ) = π(k)ϕ(h) (k ∈ K, h ∈ L_{0}^{+}, γ ∈ Γ_{L}),
ϕ は緩増加.

A(L_{0}^{+}/Γ_{L}; π, χ) で Γ_{L} に関するタイプ (π, χ) の保型形式の空間を表す. 保型形式空間 A(L_{0}^{+}/Γ_{L}; π, χ) の次元は有限であることが知られている.

任意の両側不変微分作用素 D ∈ Z(L_{0}^{+}) から, 等質空間 X_{i} = L_{0}^{+}/L_{(x_{i})}^{+} 上の L_{0}^{+}-不変微分作用素が誘導される. これを D̄ と表す. 関数 ψ : X_{i} ⟶ W_{π} が条件

\begin{aligned}D̄ψ & = & χ(D)ψ & (D ∈ Z(L_{0}^{+})), \\ ψ(kx̄) & = & π(k)ψ(x̄) & (k ∈ K, x̄ ∈ X_{i}) \end{aligned}

を満たすとき, タイプ (π, χ) の球関数であるという. X_{i} 上のタイプ (π, χ) の球関数の空間を E(X_{i}; π, χ) と表す.

補題 ϕ を A(L_{0}^{+}/Γ_{L}; π, χ) に属す保型形式とする. 積分 (3) が絶対収束しているならば, x における周期 M_{x}^{(i)}ϕ は E(X_{i}; π, χ) に属す球関数である.

ゼータ関数を定義するための最後の仮定は次のとおりである:

(A-4) 球関数の空間 E(X_{i}; π, χ) (1 ≤ i ≤ ν) は有限次元である.

m_{i} = dim E(X_{i}; π, χ) (1 ≤ i ≤ ν) とおき, E(X_{i}; π, χ) の基底 {ψ_{1}^{(i)}, …, ψ_{m_{i}}^{(i)}} を固定しておく. 上の補題により M_{x}^{(i)}ϕ は ψ_{1}^{(i)}, …, ψ_{m_{i}}^{(i)} の線形結合で表される:

M_{x}^{(i)}ϕ = ∑_{l=1}^{m_{i}} c_{l}^{(i)}(ϕ; x) ψ_{l}^{(i)}.  (4)

このとき, 係数 c_{l}^{(i)}(ϕ; x) は x の関数として, 有理点集合 V_{ℚ} ∩ V_{i} 上の Γ-不変な関数とみなすことができる.

さて, 保型形式 ϕ に付随するゼータ関数 ζ_{l}^{(i)}(ϕ, L; s) と ϕ のタイプに依存する局所ゼータ関数 Φ_{l}^{(i)}(f; π, χ, s) を

ζ_{l}^{(i)}(ϕ, L; s) = ∑_{x∈Γ\L∩V_{i}} \frac{μ(x)c_{l}^{(i)}(ϕ; x)}{∏_{j=1}^{n} |P_{j}(x)|^{s_{j}}} ,

Φ_{l}^{(i)}(f; π, χ, s) = ∫_{V_{i}} ∏_{j=1}^{n} |P_{j}(y)|^{s_{j}} ψ_{l}^{(i)}(ȳ)f(y)Ω(y)
(1 ≤ i ≤ ν, 1 ≤ l ≤ m_{i})

によって定義する. ゼータ関数 ζ_{l}^{(i)}(ϕ, f_{0}; s) は Γ の取り方には依存しない. 補題 I.4 と等式 (4) から, 容易に次の積分表示が得られる：

命題概均質ベクトル空間 (G, ρ, V) は条件 (A-1) – (A-4) を満足しているとする. このとき, Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十分大きいならば, 等式

Z_{ϕ}(f, L; s) = ∑_{i=1}^{ν} ∑_{l=1}^{m_{i}} ζ_{l}^{(i)}(ϕ, L; s) Φ_{l}^{(i)}(f; π, χ, s)

が成立する.

注意. 係数 c_{l}^{(i)}(ϕ; x) は, X_{i} の点 {ȳ_{t}} を適当に選べば, ⟨M_{x}^{(i)}ϕ(ȳ_{t}), e_{s}⟩ の形の x の関数の有限線形結合として表される. ここで, {e_{s}} は W_{π} の正規直交基底, ⟨ , ⟩ は W_{π} 上の内積とした. すなわち, 上で導入したゼータ関数の係数は, 大雑把には保型形式 ϕ の周期であると言ってよい.

さて, 本質的な条件である (A-4) が成立する最も簡単な場合は

a) 量指標ケース – ϕ は L_{0}^{+} の quasi-character

である. このケースは [S4, §2.1] で論じてある.

条件 (A-4) はさらに次の 2 つの場合に成り立つことが知られている： b) 対称空間ケース – X_{i} (1 ≤ i ≤ ν) が reductive 対称空間となる場合 (Oshima, ないし

は van den Ban の結果による) ([S4] 参照);

c) コンパクトケース –L_{0}^{+} がコンパクト Lie 群の場合 (Peter-Weyl の定理による) ([S5] 参照).

第 II 節では, この 2 つのケースを Koecher-Maass 級数と関係する具体例を通じて説明する.

さて, 上の命題に与えられたような積分表示が得られたとすると, 次になすべきことは以下の問題を順次解いていくことである：

1. Z_{ϕ}(f, L; s) の満たす関数等式を証明する;

2. 球関数の空間 E(X_{i}; π, χ) を記述する（例えば, 基底を具体的に構成したい） ;

3. 球関数付きの局所ゼータ関数 Φ_{l}^{(i)}(f; π, χ, s) の満たす関数等式を示す;

4. b-関数の対応物を見いだす.

第 1 の問題は Poisson の和公式（と微分作用素を用いた特異集合の寄与の消去のテクニック）を用いて解決される. この部分は, 保型形式のつかない古典的ゼータ関数の場合と何ら変わるところはないので, 説明は省略し, 第 II 節では第 2, 第 3 の問題を中心に解説する. b-関数の一般化の問題については, 説明する余裕があまりないので [S4], [S5] を参照して下さい.

II. 概均質ベクトル空間のゼータ関数としての Koecher-Maass 級数

II.1 Koecher-Maass 級数に関連する概均質ベクトル空間

SO(m) を二次形式 v_{1}^{2} + ⋯ + v_{m}^{2} の特殊直交群とする. この節で考察する概均質ベクトル空間は (G, ρ, V) = (SO(m) × GL(n), ρ, M(m, n)) である. ここで, 表現 ρ は

ρ(k, g)x = kxg^{−1} (k ∈ SO(m), g ∈ GL(n), x ∈ M(m, n))

によって与えられるものである. この空間の特異集合 S は

S = {x ∈ V | det(^{t}xx) = 0}

であり, P (x) = det(^{t}xx) が基本相対不変式である. (G, ρ, V) は自然に ℚ 上定義された概均質ベクトル空間の構造を持つ. このとき, V_{ℝ} \ S_{ℝ} = {x ∈ M(m, n; ℝ) | rank x = n} であり, ただ一つの開 G^{+}-軌道になっている. したがって, ν = 1 である. この開軌道の代表

点として x_{0} = ( \begin{matrix}I_{n} \\ 0^{(m−n,n)} \end{matrix} ) をとる.

II.2 対称空間ケース: テータ級数の量指標付き Koecher-Maass 級数 ([S4, §6.1])

前節の記号で L = GL(n), U = SO(m) となっている場合を考える. このとき, L_{0}^{+} = SL(n) := SL(n)_{ℝ}, L_{(x_{0})}^{+} = SO(n) := SO(n)_{ℝ} であり, 対応する等質空間 X_{1} = SL(n)/SO(n) は対称空間の構造を持つ. 対称空間 X_{1} をサイズ n, 行列式 1 の実正定値対称行列の空間と同一視する.

𝔞 をサイズ n, トレース 0 の実対角行列のなすベクトル空間とする. その複素化 𝔞_{ℂ} は Lie 環 Lie(L_{0}^{+})_{ℂ} = 𝔰𝔩(n, ℂ) の Cartan 部分代数である. Λ_{i} ∈ 𝔞_{ℂ}^{∗} (1 ≤ i ≤ n − 1) を

Λ_{i} (( \begin{matrix}a_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & a_{n} \end{matrix} )) = a_{1} + ⋯ + a_{i}

によって定義する. このとき, {Λ_{1}, …, Λ_{n−1}} は 𝔞_{ℂ}^{∗} の基底をなす (基本ウェイト). U(𝔞) で 𝔞_{ℂ} の不変包絡環を, U(𝔞)^{W} でその Weyl 群不変式のなす部分環を表す. U(𝔞)^{W} と不変微分作用素環 D(X_{1}) との間には標準的同型

γ : D(X_{1}) ⟶ U(𝔞)^{W}

が存在することが知られている (たとえば, [H2, Chap. II, §4, §5] を見よ). 任意の λ ∈ 𝔞_{ℂ}^{∗} は U(𝔞)^{W} から ℂ への多元環準同型に自然に延長される. この延長も λ で表そう. この λ を上の γ と合成することにより, X_{1} 上の L_{0}^{+}-不変微分作用素環 D(X_{1}) の無限小指標 χ_{λ} = λ ∘ γ が得られる. Z(L_{0}^{+}) ≅ Z(X_{1}) = D(X_{1}) であるから, χ_{λ} は Z(L_{0}^{+}) の指標ともみなすことができる.

さて, タイプ (π, χ_{λ}) の球関数の空間は, Helgason による Riemann 対称空間上の不変微分作用素の K-有限な同時固有関数の積分表示 ([H1, Corollary 7.4]) により決定することができる. π を K = SO(n) の既約 unitary 表現とし, W_{π} をその表現空間とする. λ = ∑_{i=1}^{n−1} λ_{i}Λ_{i} ∈ 𝔞_{ℂ}^{∗} (λ_{i} ∈ ℂ) に対して,

Ψ_{λ}(ȳ) = ∫_{SO(n)} ∏_{i=1}^{n−1} d_{i}(^{t}kȳk)^{−(λ_{i}+1)/2}π(k) dk, ȳ = \frac{^{t}yy}{(det ^{t}yy)^{1/n}} ,  (5)

とおく. ここで, d_{i}(A) は行列 A の i 次首座小行列式を表している. また,

M = \{( \begin{matrix}ε_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & ε_{n} \end{matrix} ) | ε_{i} = ±1, ε_{1} ⋯ ε_{n} = 1\}

とする. このとき, 球関数の空間は

E(X_{1}; π, χ_{λ}) = {Ψ_{λ}(ȳ)v | v ∈ W_{π}^{M}}  (6)

によって与えられるのである.

注意. E(X_{1}; π, χ_{λ}) に属す球関数の構成は一般の reductive 対称空間に拡張されており ([O] 参照), この節のゼータ関数についての議論も完全に一般化できる.

数論的部分群として Γ = SL(n)_{ℤ} をとる. 保型形式 ϕ ∈ A(L_{0}^{+}/Γ; π, χ) は（定義より）緩増加であり, X_{1} が Riemann 対称空間であることから, 条件 (A-3) が満たされることが証明できる. また, (6) により, 各 x ∈ V_{ℚ} \ S_{ℚ} に対して

M_{x}ϕ(y) := ∫_{SO(n)} ϕ(h_{y}kh_{x}^{−1}) dk = Ψ_{λ}(ȳ)v(ϕ, x)

を満足する v(ϕ, x) ∈ W_{π}^{M} が一意的に存在することが従う.

以上のことから, Γ-不変な V_{ℚ} の格子 L, および f ∈ S(V_{ℝ}) に対してゼータ関数, 局所ゼータ関数は次で与えられることが分かる：

ζ(ϕ, L; s) = ∑_{{x∈L/Γ \atop rank x=n}} \frac{v(ϕ; x)}{(det^{t}xx)^{s}} ,

Φ(f; π, λ, s) = ∫_{V_{ℝ}\S_{ℝ}}(det^{t}xx)^{s− \frac{m}{2}} Ψ_{λ}(x̄)f(x) dx.

特に, π が自明な 1 次元表現 π_{0} で ϕ が SO(n)-不変のとき, Ψ_{λ}(ȳ) は SL(n) の帯球関数 ω_{λ}(ȳ) と一致する. 任意の保型形式 ϕ ∈ A(L_{0}^{+}/Γ; π_{0}, χ) は X_{1} 上の Γ-不変関数とみなすことができ, ゼータ関数の係数は v(ϕ, x) = ϕ(x̄^{−1}) と ϕ そのものを用いて表される. したがって,

T̄ = (det T^{−1/n}) · T ∈ X_{1}, A(T) = ♯ {x ∈ L | ^{t}xx = T } , ϵ(T) = ♯(SO(T)_{ℤ})

という記号を導入すると,

ζ(ϕ, L; s) = ∑_{{T ∈Sym_{n}(ℝ)/Γ \atop T >0}} \frac{A(T)ϕ(T̄^{−1})}{ϵ(T)(det T)^{s}}

となる.

この式は, ζ(ϕ, L; s) がテータ級数

θ(L, Z) = ∑_{x∈L} exp(2πi tr(^{t}xx · Z)) (Z ∈ ℌ_{n})

に付随する（Maass の意味での）量指標 ϕ̌(T) = ϕ(T^{−1}) 付きの Koecher-Maass 級数に他ならないことを示している.

積分表示 (5) を用いると, 球関数付きの局所ゼータ関数 Φ(f; π, λ, s) は

ξ^{(∞)}(f; s, λ, π) = ∫_{V_{ℝ}\S_{ℝ}} ∏_{i=1}^{n−1} d_{i}(x̄)^{−(λ_{i}+1)/2}(det^{t}xx)^{s− \frac{m}{2}} (∫_{SO(n)} f(xk^{−1})π(k) dk) dx

の形に書き換えられる. これは, GL(n) の上三角行列のなす Borel 部分群を B(n) としたとき, (SO(m) × B(n), ρ, M(m, n)) で与えられる概均質ベクトル空間の局所ゼータ関数に一致している. よって, 我々が知りたい Φ(f; π, λ, s) の関数等式は, ξ^{(∞)}(f; s, λ, π) の関数等式という通常の概均質ベクトル空間の理論の枠内で示される関数等式に帰着した. この関数等式の explicit な公式は [S, pp.155–156] ですでに計算されている. その結果を用いると, ζ(ϕ, L; s) と ζ(ϕ̌, L^{∗}; s) （ϕ̌(h) = ϕ(^{t}h^{−1}), L^{∗} = L の双対格子）とを結びつける次の関数等式が得られる. .

定理 (i) ゼータ関数 ζ(ϕ, L; s) は s の有理型関数として ℂ 全体に解析接続される. (ii) Γ-因子付きゼータ関数を

ζ̂(ϕ, L; s) = v(L)^{1/2}π^{−ns} ∏_{i=1}^{n} Γ (s + \frac{1}{2n} ∑_{j=1}^{n−1} jλ_{j} − \frac{1}{2} ∑_{j=i}^{n−1} λ_{j} − \frac{n − 1}{4}) · ζ(ϕ, L; s),

ζ̂(ϕ̌, L^{∗}; s) = v(L^{∗})^{1/2}π^{−ns} ∏_{i=1}^{n} Γ (s + \frac{1}{2n} ∑_{j=1}^{n−1} jλ_{n−j} − \frac{1}{2} ∑_{j=i}^{n−1} λ_{n−j} − \frac{n − 1}{4}) · ζ(ϕ̌, L^{∗}; s)

により定義すると, 関数等式

ζ̂(ϕ̌, L^{∗}; s) = ζ̂(ϕ, L; \frac{m}{2} − s)

が成り立つ.

ここで, ϕ̌ ∈ A(L_{0}^{+}/Γ; π, χλ̌) (λ̌ = ∑_{i=1}^{n−1} λ_{n−i}Λ_{i}) であることに注意しておく.

注意. Siegel 保型形式の空間がテータ級数で張られるか否かを問題にする, いわゆる, “basis problem” への解答が肯定的であるようなケースでは, 上の定理は一般の Siegel 保型形式に対する量指標付き Koecher-Maass 級数の関数等式を与えていることになる (“basis problem” については [Bö] 参照).

II.3 コンパクトケース : ベクトル値テータ級数の Koecher-Maass 級数 ([S2], [Bö-Sch])

次に, 前項とは L と U の役割を入れ替えて L = GL(1) × SO(m), U = SL(n) となる場合を調べよう. この場合には, L_{0}^{+} = SO(m) := SO(m)_{ℝ}, L_{(x_{0})}^{+} = SO(n) × SO(m − n) であり, 対応する等質空間 X_{1} はコンパクト対称空間 SO(m)/SO(n) × SO(m − n) である（X_{1} が対称空間になることは, コンパクトケースの一般論としては必要ないことだが, 以下に見るように, 球関数空間の重複度 1 定理が成り立つなど, 事態をかなり簡単にする） .

L_{0}^{+} = SO(m) 上の保型形式の空間としては,

A(SO(m), π) = {ϕ : SO(m) → W_{π} | ϕ(kk′) = π(k)ϕ(k′) (k, k′ ∈ SO(m))}
= {ϕ_{w}(k) := π(k)w | w ∈ W_{π}}

を考えることになる. Z(L_{0}^{+}) の無限小指標 χ は, 表現 π によって自動的に定まってしまうので, 記号からは省略している.

SO(n) × SO(m − n) が対称部分群なので, SO(n) × SO(m − n) で固定される W_{π} のベクトルのなす部分空間 W_{π}^{SO(n)×SO(m−n)} は高々 1 次元である. dim W_{π}^{SO(n)×SO(m−n)} = 1 のとき, 表現 π はクラス 1 であるといわれる. π がクラス 1 でなければ, E(X_{1}, π) = {0} であり, Z_{ϕ}(f, L; s) は恒等的に消えてしまうので, 以下, π はクラス 1 であると仮定する. W_{π}^{SO(n)×SO(m−n)} の元 w_{0} で ∥w_{0}∥ = 1 となるものを固定する. このとき, X_{1} 上の球関数の空間は 1 次元であり,

E(X_{1}, π) = ℂψ_{0}, ψ_{0}(k̇) = π(k)w_{0}

で与えられる.

pr を W_{π} から W_{π}^{SO(n)×SO(m−n)} への直交射影とすると, 保型形式 ϕ = ϕ_{w} ∈ A(SO(m), π) の周期は, 次のように容易に計算できる:

M_{x}ϕ(ȳ) = ∫_{SO(n)×SO(m−n)} ϕ(k_{y}hk_{x}^{−1}) dh = ∫_{SO(n)×SO(m−n)} π(k_{y}hk_{x}^{−1})w dh
= π(k_{y}) ∘ pr ∘ π(k_{x})^{−1}w = ⟨π(k_{x}^{−1})w, w_{0}⟩ · π(k_{y})w_{0}
= ⟨w, ψ_{0}(k̇_{x})⟩ · ψ_{0}(k̇_{y}).

これより, 保型形式付きゼータ関数, 球関数付き局所ゼータ関数として

ζ(ϕ_{w}, L; s) = ∑_{{x∈L/Γ \atop rank x=n}} \frac{⟨w, ψ_{0}(k̇_{x})⟩}{(det^{t}xx)^{s}},

Φ(f; π, s) = ∫_{V_{ℝ}\S_{ℝ}}(det^{t}xx)^{s− \frac{m}{2}} ψ_{0}(k̇_{x})f(x) dx

が得られる.

さて, ゼータ関数をさらに具体的に書き換えていくために ψ_{0} を M(m, n) 上の多項式写像と関係づけよう. まず C(X_{1}) で X_{1} = SO(m)/SO(n) × SO(m − n) 上の SO(m)-有限な関数の空間を表し, C(X_{1})_{π} をその π-isotypic 成分とする. このとき, C(X_{1})_{π} は π を重複度 1 で含み, 写像

W_{π} ∋ w ⟼ ⟨w, π(k)w_{0}⟩ ∈ C(X_{1})_{π}  (7)

が SO(m)-同型を与えることが知られている. ここで, コンパクト群 SO(m) の既約 unitary 表現と reductive 代数群 SO(m) の既約有理表現の間には 1 対 1 対応があること (unitary trick) を思い出しておこう.

補題

R = \{Q ∈ ℂ[M(m, n)] | Q(xg) = Q(x) (∀g ∈ SL(n)), det(\frac{∂}{∂^{t}x} · \frac{∂}{∂x})Q = 0\}

とおく. R を SO(m)-加群とみなし, SO(m) の既約表現 π に対し, R_{π} でその π-isotypic 成分を表す. このとき,

(i) SL(n)-不変式環 ℂ[M(m, n)]^{SL(n)} は SO(m)-加群として次のように分解する：

ℂ[M(m, n)]^{SL(n)} = ⨁_{d=0}^{∞}(det^{t}xx)^{d} · R, R = ⨁_{π:class1} R_{π}.

(ii) R_{π} は既約 SO(m)-加群であり,

R_{π} ∋ Q ⟼ Q(kx_{0}) ∈ C(X_{1})_{π}

は SO(m)-同型である.

上の補題 (ii) の SO(m)-同型と (7) を合成すると

W_{π} ∋ w ⟼ Q_{w} ∈ R_{π}, Q_{w}(kx_{0}) = ⟨w, π(k)w_{0}⟩  (8)

なる SO(m)-同型が得られる. R_{π} に属す 0 と異なる多項式 Q の次数を d(π) で表す. このとき, d(π) は Q の選び方によらず,

⟨w, π(k_{x})w_{0}⟩ = \frac{Q_{w}(x)}{(det^{t}xx)^{d(π)/2n}}

が成り立つ. よって, {w_{1}, …, w_{deg π}} を W_{π} の正規直交基底とするとき,

π(k_{x})w_{0} = (det^{t}xx)^{−d(π)/2n} ∑_{i=1}^{deg π} \overline{Q_{w_{i}}(x)} w_{i}

が得られる. したがって, ゼータ関数, 局所ゼータ関数の表示として

ζ(ϕ_{w}, L; s) = ∑_{{x∈L/Γ \atop rank x=n}} \frac{Q_{w}(x)}{(det^{t}xx)^{s+d(π)/2n}} ,

Φ(f; π, s) = ∑_{i=1}^{deg π} Φ(f; \overline{Q_{w_{i}}}, s)w_{i},
Φ(f; \overline{Q_{w_{i}}}, s) = ∫_{V_{ℝ}\S_{ℝ}}(det^{t}xx)^{s−(mn+d(π))/2n}\overline{Q_{w_{i}}(x)}f(x) dx

を得る.

Φ(f; π, s) の多項式 Q ∈ R_{π} を用いた表示を利用すると, 関数等式を証明することができる. Q(∂) を Q(∂_{x}) exp(tr^{t}yx) = Q(y) exp(tr^{t}yx) を満たす定数係数偏微分作用素とする. 容易に分かるように

Q(y)f̂(y) = (−2πi)^{−d(π)}(Q(∂_{x})f)ˆ (y)

が成り立つ. さらに, 上の補題により, s の多項式 b_{π}(s) で

Q(∂_{x})(det^{t}xx)^{s} = b_{π}(s)Q(x)(det^{t}xx)^{s−d(π)/2n}

を満たすものが存在することが分かる. これらの等式と, (det^{t}xx)^{s} の Fourier 変換の公式, すなわち (SO(m) × GL(n), ρ, M(m, n)) の通常の局所関数等式を組み合わせると, 球関数付き局所ゼータ関数 Φ(f; π, s) の満たす関数等式が得られる. その計算における最大のポイントは一般化された b-関数 b_{π}(s) の計算である. 我々がいま扱っている場合には, X_{1} がコンパクト対称空間（より一般に球等質空間）であることが鍵となって, 概均質ベクトル空間 (BSO(m) × GL(n), M(m, n)) に対する通常の b-関数の計算に帰着させられる. ただし, BSO(m) は SO(m) の Borel 部分群である.

関数等式の計算結果を以下に述べる. 簡単のため, m > 2n と仮定しよう. この仮定の下で SO(m) のクラス 1 既約 unitary 表現の同値類は

Λ = {λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) | λ_{1} ≥ ⋯ ≥ λ_{n} ≥ 0, λ_{1} ≡ ⋯ ≡ λ_{n} mod 2}

によってパラメトライズできる.

定理 λ ∈ Λ を表現 π に対応するパラメータとする. このとき,

(i) 任意の w ∈ W_{π} に対し, ゼータ関数 ζ(ϕ_{w}, L; s) は s の有理型関数として ℂ 全体に解析接続され, さらに

ζ(ϕ_{w}, L; s) · ∏_{i=1}^{n} (s + \frac{λ_{i} − i − 1}{2}) (s − \frac{λ_{i} + m − i + 1}{2})

は整関数である.

(ii) v(L) = ∫_{V_{ℝ}/L} dx とし,

ζ̂(ϕ_{w}, L; s) = v(L)^{1/2} π^{−ns} ∏_{i=1}^{n} Γ (s + \frac{λ_{i} − i + 1}{2}) · ζ(ϕ_{w}, L; s)

とおく. このとき, 次の関数等式が成り立つ：

ζ̂(ϕ_{w}, L^{∗}; m/2 − s) = e^{\frac{π\sqrt{−1}}{2} (λ_{1}+···+λ_{n})}ζ̂(ϕ_{w}, L; s).

ϕ_{w} の周期を M(m, n) 上の多項式関数と結びつける方法は, 上で説明したものに限られない. 上の定理におけると同様に, λ ∈ Λ を π に対応するパラメータとする. このとき, λ は GL(n) の既約多項式表現も定めることができる. この表現を ρ と記す. V_{ρ} を ρ の表現空間とし, 次の V_{ρ}-値多重調和関数の空間を考えよう：

H_{λ} = {Q : M(m, n) → V_{ρ} | Q(xg) = ρ(^{t}g)Q(x) (∀g ∈ GL(n)), Δ_{ij}Q = 0 (i, j = 1, …, n)} .

ここで, Δ_{ij} = ∑_{l=1}^{m} \frac{∂^{2}}{∂x_{li}∂x_{lj}} とした. V_{ρ} 上に

(ρ(g)v, ρ(^{t}g^{−1})v′) = (v, v′) (g ∈ GL(m), v, v′ ∈ V_{ρ})

を満たす内積 (∗, ∗) をとる. m > 2n であるから, 写像

H_{λ} ⊗ V_{ρ} ∋ Q ⊗ v
⟼ [SO(m)/SO(m − n) ∋ k̇ ↦ (Q(kx_{0}), v) ∈ ℂ] ∈ C(SO(m)/SO(m − n))_{π}

は SO(m)-同型を引き起こす ([Ge] 参照). λ_{1} ≡ ⋯ ≡ λ_{n} mod 2 との仮定により, V_{ρ} は 0 でない SO(n)-不変ベクトル v_{0} を含む. v_{0} は定数倍を除いて一意的に定まる. このとき, 上の SO(m)-同型の制限として次の SO(m)-同型が定まる：

H_{λ}^{0} := H_{λ} ⊗ v_{0} ⟶ C(SO(m)/SO(n) × SO(m − n))_{π}.

以上をまとめると SO(m)-同型

H_{λ} ∋ Q ⟼ w ∈ W_{π}, (Q(kx_{0}), v_{0}) = ⟨w, π(k)w_{0}⟩

が得られた. これより,

(Q(x), ρ(T^{1/2})^{−1}v_{0}) = ⟨w, π(k_{x})w_{0}⟩, T = ^{t}xx

となる. よって, Q ∈ H_{λ} を w ∈ W_{π} に対応する多項式とすると,

ζ(ϕ_{w}, L; s) = ∑_{{T ∈Sym_{n}(ℝ)/Γ \atop T >0}} \frac{(A(T), ρ(T^{1/2})^{−1}v_{0})}{ϵ(T)(det T)^{s}}, A(T) = ∑_{{x∈L \atop ^{t}xx=T}} Q(x)

というゼータ関数の表示を得る. これは, [Bö-Sch] において調べられた V_{ρ}-値テータ級数

Θ(Q, L, Z) = ∑_{x∈L} Q(x) exp(2πi tr(^{t}xx · Z)) (Z ∈ ℌ_{n})

に付随する Koecher-Maass 級数に他ならない.

注意. この節で扱った 2 つの例から想像がつくように, 概均質ベクトル空間

(SO(m) × GL(n), ρ, M(m, n))

に付随する保型形式付きゼータ関数とは, 直交群の保型形式からテータリフティングで得られる Siegel 保型形式の（量指標付き） Koecher-Maass 級数に他ならない. 他の概均質ベクトル空間のゼータ関数については, このような保型形式との関係はほとんど見いだされていないが, 存在するという信念を持つべきであろう.

一方, 以上のゼータ関数はすべて GL(m) の Langlands Eisenstein 級数として解釈されることに注意しておく. Koecher-Maass 級数と Eisenstein 級数という 2 通りの解釈が存在するということに, どのような意味があるかということについては私は今のところ語るべきことを持たない.

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