概均質ベクトル空間の保型形式つきゼータ関数

佐藤 文広（立教大学理学部）

概要

このノートでは, 概均質ベクトル空間に付随する保型形式付きゼータ関数の一般論の概略を説明した (§II) 後, どのようなゼータ関数が現れるのかを具体例の計算を通じて説明する (§III). §I では, 通常のゼータ関数の理論の復習をし, ゼータ関数を保型形式付きに拡張する際のポイントを明らかにした. §III で与えた例は, ゼータ関数の具体的な形が (a) 保型形式の周期の non-vanishing と保型形式の持ち上げの関係と

(b) 概均質ベクトル空間の幾何学的構造とから明解に求められる点で大変気持ちよい. 保型形式付きゼータ関数のその他の例は, [S4] の後半を参照されたい.

I. 概均質ベクトル空間に付随するゼータ関数

I.1 概均質ベクトル空間

(G, ρ, V) を有理数体 ℚ 上定義された概均質ベクトル空間とし, S でその特異集合を表す. 定義により, V_{ℂ} − S_{ℂ} は単一の G_{ℂ}-軌道になっている. V \ S の点を generic point と呼ぶ.

S_{1}, …, S_{n} を S に含まれる ℚ-既約な超曲面とし, S_{1}, …, S_{n} を定義する ℚ-上の既約多項式を, それぞれ, P_{1}, …, P_{n} とする. このとき, 多項式 P_{i} は 0 でない有理数倍を除いて一意的であり, 各 i = 1, …, n に対して, G の ℚ-有理指標 χ_{i} で

P_{i}(ρ(g)x) = χ_{i}(g)P_{i}(x) (g ∈ G, x ∈ V)

を満たすものが存在する. 一般に, G の有理指標 χ に対して、

P (ρ(g)x) = χ(g)P (x) (g ∈ G, x ∈ V)

を満たす V 上の 0 でない有理関数を相対不変式という. P と χ の関係を示すために、 χ を P の指標, P は χ に対応する、などという. 任意の ℚ 上定義された相対不変式は P_{1}, …, P_{n} の冪積（の定数倍）として得られるので, これらを ℚ 上の基本相対不変式という.

指標 χ_{1}, …, χ_{n} で生成される G の ℚ-有理指標の群 X(G)_{ℚ} の部分群を X_{ρ}(G)_{ℚ} で表す. この部分群は階数 n の自由アーベル群であり, 相対不変式に対応する ℚ-有理指標の全体に一致している.

x ∈ V に対し

G_{x} = {g ∈ G | ρ(g)x = x}

とおく. 特に, generic point x ∈ V \ S における isotropy subgroup を generic isotropy subgroup と言い, その構造は基本的重要性をもっている.

例 1. G = GL_{n} × H (H ⊂ GL_{n}), V = M_{n}, ρ(g, h)v = gvh^{−1} とする. このとき, (G, ρ, V) は H の如何にかかわらず概均質ベクトル空間である. 実際, v = E_{n} （単位行列）とすると, ρ(G)v = GL_{n} が開軌道で S = {v ∈ M_{n} | det v = 0} である. したがって, 基本相対不変式は P (v) = det v である. また, generic isotropy subgroup G_{v} は {(h, h) | h ∈ H} で与えられ, H と同型である. このタイプの空間は, 自明な (trivial) 概均質ベクトル空間と言われ H の違いを問題にしないことが多いが, 保型形式つきゼータ関数の立場からは generic isotropy subgroup の役割は大きく H の違いにも興味がある.

例 2. G = SL_{2} × SL_{2} × GL_{2}, V = M_{2} ⊕ M_{2}, ρ(h_{1}, h_{2}, g)(v_{1}, v_{2}) = (h_{1}v_{1}h_{2}^{−1}, h_{1}v_{2}h_{2}^{−1})^{t}g とする. この

とき, (G, ρ, V) は概均質ベクトル空間である. v = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ M_{2} に対し, v^{∗} = ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ) と

おき, M_{2} 上の内積を

⟨v, w⟩ = tr(vw^{∗}) (v, w ∈ M_{2})

によって定義する. このとき,

⟨v, v⟩ = 2 det v, ⟨h_{1}vh_{2}^{−1}, h_{1}wh_{2}^{−1}⟩ = ⟨v, w⟩ (h_{1}, h_{2} ∈ SL_{2})

が成り立つことに注意しよう. また, π : V → Sym_{2} を

π(v) = π(v_{1}, v_{2}) = ( \begin{matrix}⟨v_{1}, v_{1}⟩ & ⟨v_{1}, v_{2}⟩ \\ ⟨v_{2}, v_{1}⟩ & ⟨v_{2}, v_{2}⟩ \end{matrix} )

によって定義すると,

π(ρ(h_{1}, h_{2}, g)v) = gπ(v)^{t}g

が成り立つ. よって, P (v) = P (v_{1}, v_{2}) = det π(v) は χ(h_{1}, h_{2}, g) = (det g)^{2} に対応する相対不変式であり, S = {v ∈ V | P (v) = 0} である. generic point としては,

v = (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )) , π(v) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

がとれる. この空間のより詳しい分析は後に行う.

例 3. 表現 ρ が既約のとき, 裏返し変換という標準的な構成でうつりあう概均質ベクトル空間を同値類にまとめることにより, 29 系列に分類される. （[SK], [K]）

例 4. 𝔤 を複素半単純 Lie 環とし, 𝔤 = ⨁_{i} 𝔤_{i} を ℤ-gradation とする. すなわち, [𝔤_{i}, 𝔤_{j}] ⊂ 𝔤_{i+j} を満たす部分空間への直和分解とする. G を 𝔤 の随伴群とし, G_{0} を 𝔤_{0} に対応する閉部分群とする. このとき, 随伴表現 Ad により, (G_{0}, Ad, 𝔤_{i}) は概均質ベクトル空間である ([R]) . この構成は, 表現論との関係で重要である. また整数論的にも, nilpotent 軌道積分とゼータ関数の関係などと結びついており重要である.

例 5. 概均質ベクトル空間 (G, ρ, V) が与えられたとき, 作用する群 G をその閉部分群 G′ に小さくしても概均質ベクトル空間になることがある（小さくしすぎれば, もちろん, 概均質にはならないが） . とくに, G′ として G の放物型部分群を考えたとき, 概均質かどうかを決定することは重要である. 例えば, 例 2 の概均質ベクトル空間に対して, BGL_{2} = {g = (g_{ij}) ∈ GL_{2} | g_{21} = 0}, BSL_{2} = SL_{2} ∩ BGL_{2} として

G′ = BSL_{2} × BSL_{2} × BGL_{2},

を考えると, (G′, ρ, V) は dim G′ = 7 < 8 = dim V でもはや概均質ベクトル空間ではないが,

G′ = BSL_{2} × BSL_{2} × GL_{2}

は (G′, ρ, V) は概均質ベクトル空間である. このように作用する群を小さくすると, 一般には新しい相対不変式が現れる. この例では, 新たに

P_{1}(v) = (v_{1}v_{2}^{∗})_{21}, P_{2}(v) = (v_{1}^{∗}v_{2})_{21}

が相対不変式となり, {P_{1}, P_{2}, P = det π(v)} が基本相対不変式である.

I.2 定数係数ゼータ関数の定義

以下, 次を仮定しよう：

(A-1) 任意の x ∈ V_{ℚ} \ S_{ℚ} に対し, isotropy 部分群 G_{x} は reductive であり, その単位元連結成分 (G_{x})^{∘} の ℚ-有理指標の群 X((G_{x})^{∘})_{ℚ} は自明である： X((G_{x})^{∘})_{ℚ} = {1}.

(A-2) S は超曲面, すなわち, S が余次元 ≥ 2 の既約成分を含まない.

G^{+} を G_{ℝ} の（位相群としての）単位元連結成分とし, d_{r}g で G^{+} 上の右不変 Haar 測度を表す. また, V_{ℝ} \ S_{ℝ} = V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{ν} を連結成分への分解（G^{+}-軌道分解と一致）とする. V_{i} 上には, G^{+}-相対不変測度 dω で

dω(ρ(g)v) = Δ(g)dω(v), Δ(g) = d_{r}g のモジュール

を満たすものが存在する. 実際に, 仮定 (A-1) の下で,

∏_{i=1}^{n} χ_{i}(g)^{δ_{i}} = det ρ(g)/Δ(g) (g ∈ G^{+})

となる δ_{1}, …, δ_{n} ∈ ℚ が存在するので、

dω(v) = ∏_{i=1}^{n} |P_{i}(v)|^{−δ_{i}} dv, dv = V_{ℝ} 上の Lebesgue 測度

とすればよい. 各軌道 V_{i} ごとに, 局所ゼータ関数（一般 Gamma 積分）を

Φ_{i}(f, s) = ∫_{V_{i}} ∏_{j=1}^{n} |P_{j}(v)|^{s_{j}} f(v) dω(v), f ∈ S(V_{ℝ})

によって定義する. この積分は, Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十分大きいとき絶対収束し, ℂ^{n} 上の有理型関数に解析接続される（多項式の複素冪の一般論） .

各 v ∈ V_{i} に対し G_{v}^{+} = G_{v} ∩ G^{+} (v ∈ V_{ℝ}) とおいて, G_{v}^{+} 上の両側不変 Haar 測度（条件 (A-1) より存在） dμ_{v} を

∫_{G^{+}} F (g) d_{r}g = ∫_{V_{i}} dω(ρ(g)v) ∫_{G_{v}^{+}} F (gh) dμ_{v}(h)  (1)

が成り立つように正規化する.

L を V_{ℚ} の格子とし, Γ ⊂ G_{ℚ} を L を不変にする数論的部分群とする. このとき, (G, ρ, V) のゼータ関数は,

ζ_{i}(L, s) = ∑_{v∈Γ\(L∩V_{i})} μ(v) ∏_{j=1}^{n} |P_{j}(v)|^{−s_{j}} , μ(v) = ∫_{G_{v}^{+}/G_{v}^{+}∩Γ} dμ_{v}

で定義される. 仮定 (A-2) の下で, このゼータ関数は Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十分大きいとき絶対収束する（H. Saito の結果） .

関数等式を成り立たせるために, （絶対必要というわけではないが）次の条件を仮定する.

(A-3) (G, ρ, V) は正則概均質ベクトル空間である. すなわち, 相対不変式 P (v) を適当に選ぶと, その Hessian det (∂^{2}P/∂v_{i}∂v_{j}(v)) は恒等的に 0 ではない.

この仮定から, 双対空間上の反傾表現 (G, ρ^{∗}, V^{∗}) が (G, ρ, V) とほとんど同じ構造をもっていることが分かる.

補題 (G, ρ, V) を正則概均質ベクトル空間とする. このとき, (i) 双対空間上の表現 (G, ρ^{∗}, V^{∗}) も正則概均質ベクトル空間である. (ii) (G, ρ, V) が (A-1) (resp. (A-2)) を満たす

⟺ (G, ρ^{∗}, V^{∗}) が (A-1) (resp. (A-2)) を満たす.

(iii) (G, ρ, V) の基本相対不変式の個数 = (G, ρ^{∗}, V^{∗}) の基本相対不変式の個数.

(iv) χ を G の有理指標とする. このとき,

χ に対応する (G, ρ, V) の相対不変式が存在する

⟺ χ に対応する (G, ρ^{∗}, V^{∗}) の相対不変式が存在する.

(v) V \ S と V^{∗} \ S^{∗} は ℚ 上 G-同型. とくに, V_{ℝ} \ S_{ℝ} の連結成分の個数 = V_{ℝ}^{∗} \ S_{ℝ}^{∗} の連結成分の個数. （これは, ゼータ関数が同じ個数だけ定義できることを意味する）

V_{ℝ} 上の急減少関数の空間を S(V_{ℝ}) で表す. このとき, f ∈ S(V_{ℝ}) の Fourier 変換 f̂ ∈ S(V_{ℝ}^{∗}) を

f̂(w) = ∫_{V_{ℝ}} f(v) exp(2π\sqrt{−1}⟨v, w⟩) dv

で定義する. また, 格子 L ⊂ V_{ℚ} の双対格子 L^{∗} ⊂ V_{ℚ}^{∗} を

L^{∗} = {w ∈ V_{ℚ}^{∗} | ⟨v, w⟩ ∈ ℤ (∀v ∈ L)}

で定義する.

I.3 関数等式成立の 4 つの根拠

(1) ゼータ積分（ゼータ関数の積分表示） f ∈ S(V_{ℝ}) に対し,

Z(f, L; s) = ∫_{G^{+}/Γ} ∏_{i=1}^{n} |χ_{i}(g)|^{s_{i}} ∑_{v∈L\S} f(ρ(g)v) d_{r}g

とおくと, この積分は Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十分大きいとき絶対収束し,

Z(f, L; s) = ∑_{i=1}^{ν} ζ_{i}(L; s)Φ_{i}(f; s)

が成り立つ.

(2) ゼータ積分の関数等式f ∈ S(V_{ℝ}) が

f|_{S_{ℝ}} ≡ 0, f̂|_{S_{ℝ}^{∗}} ≡ 0

を満たすとき,

Z(f, L; s) = v(L)^{−1}Z^{∗}(f̂, L^{∗}; s^{∗} + κ), v(L) = ∫_{V_{ℝ}/L} dv

が（両辺の収束域の合併の凸包に正則関数として解析接続され）成り立つ. ここで, s^{∗} ∈ ℂ^{n}, κ ∈ ℚ^{n} は

∏_{i=1}^{n} |χ_{i}(g)|^{s_{i}} = ∏_{i=1}^{n} |χ_{i}^{∗}(g)|^{s_{i}^{∗}} , ∏_{i=1}^{n} |χ_{i}(g)|^{κ_{i}} = det ρ(g)^{−1}

と定義される. s_{i}^{∗} は s_{1}, …, s_{n} の ℤ-係数斉次 1 次式である.

(3) 局所関数等式

Φ_{i}(f; s) = ∑_{j=1}^{ν} γ_{ij}(s)Φ_{j}^{∗}(f̂; s^{∗} + κ), (f ∈ S(V_{ℝ}))

が成り立つ. ここで, f̂ は f の Fourier 変換であり, γ_{ij}(s) は f に無関係な Gamma 関数, 指数関数で表される有理型関数である.

(4) b 関数 P^{∗} を (G, ρ^{∗}, V^{∗}) の相対不変多項式とし, χ を P^{∗} の指標とする. また, P^{χ} で χ に対応する (G, ρ, V) の相対不変式を表す. このとき, s_{1}, …, s_{n} の ℚ-係数の 1 次式の冪積 b_{χ}(s) で

P^{∗}(grad_{v}) ∏_{i=1}^{n} P_{i}(v)^{s_{i}} = b_{χ}(s)P^{χ}(v) ∏_{i=1}^{n} P_{i}(v)^{s_{i}}

を満たすものが存在する.

以上の 4 つの性質に基づいて, ゼータ関数 ζ_{i}(L; s) の関数等式が証明される.

定理ゼータ関数 ζ_{i}(L; s) (i = 1, …, ν) は, 関数等式

ζ_{j}^{∗}(L^{∗}; κ − s) = ∑_{i=1}^{ν} γ_{ij}(s)ζ_{i}(L; s)

を満たす. この等式は, 両辺のゼータ関数の収束域の合併の凸包上の有理型関数の間の等式とみなす. また, この領域上で,

b(s − δ)ζ_{i}(L; s), b(s) = S^{∗} の定義多項式P_{1}^{∗} ⋯ P_{n}^{∗} より定まる b 関数

は正則である. ただし, δ は V_{i} 上の相対不変測度の定義に現れた量である.

次節以降で, このゼータ関数論の保型形式付ゼータ関数への一般化を説明する. そのポイントは, 上に述べた 4 つの性質をいかに一般化するかである. 逆に言うと, この 4 つの性質の類似が自然に成り立つように, 保型形式付ゼータ関数, 局所ゼータ関数の定義を行ってやればよいのである.

II. 保型形式付きゼータ関数への一般化

この節で紹介する保型形式付きゼータ関数の理論は, 詳しくは [S3], [S4] に述べられている.

II.1 準備

群 G の次のような分解が一つ指定されているとする：

(A-4) G = LU, ここで L は連結な reductive ℚ-部分群, U は連結正規 ℚ-部分群で X(U) =

{1} を満たす.

ここで, U = {1} でもかまわない. 我々は, 群 L の保型形式付のゼータ関数を考えたい.

G_{0} を ⋂_{i=1}^{n} ker χ_{i} の Zariski 位相に関する単位元連結成分とする. L_{0} = L ∩ G_{0} とおく. このとき L_{0} は

連結で, G_{0} = L_{0}U と半直積に分解される.

T を L の中心 Z(L) の単位元連結成分の最大 ℚ-split トーラスとする. このとき, L は T と L_{0} の almost direct product である.

G^{+}, G_{0}^{+}, T^{+}, L_{0}^{+}, U^{+} を, それぞれ, 実 Lie 群 G_{ℝ}, G_{0,ℝ}, T_{ℝ}, L_{0,ℝ}, U_{ℝ} の単位元連結成分（Lie 群としての）とする. このとき,

G^{+} = T^{+}L_{0}^{+}U^{+}, G_{0}^{+} = L_{0}^{+}U^{+}

であり, g ∈ G^{+} は

g = thu (t ∈ T^{+}, g ∈ L_{0}^{+}, u ∈ U^{+})

と一意的に分解される.

仮定 (A-1), (A-4) により, 群 L_{0}^{+}, U^{+} は unimodular である. dt, dh, du を, それぞれ T^{+}, L_{0}^{+}, U^{+} 上の（両側不変） Haar 測度とする. d_{r}g を G^{+} 上の右不変測度とし, Δ : G^{+} ⟶ ℝ_{+}^{×} を d_{r}g の module とする. このとき,

d_{r}g = d_{r}(thu) = Δ(t)dt dh du

という関係が成り立つように, これらの測度を正規化することができる.

II.2 ゼータ積分の一般化

ϕ : L_{0}^{+} ⟶ W を有限次元複素ベクトル空間 W に値をとる L_{0}^{+} 上の関数で, L_{0,ℚ} ∩ L_{0}^{+} のある数論的部分群による右乗法で不変なものとする. （後に, ϕ は L_{0}^{+} 上の保型形式であると仮定するが, 当面は何でもよい. ）

標準全射 p : G_{0} ⟶ L_{0} = G_{0}/U を考える. 写像 p は実解析的な全射準同型

p : G_{0}^{+} ⟶ L_{0}^{+} = G_{0}^{+}/U^{+}

を引き起こす. G_{0,ℚ} ∩ G_{0}^{+} の数論的部分群 Γ に対し Γ_{L} = p(Γ) ⊂ L_{0}^{+} とおく. このとき, Γ_{L} は L_{0,ℚ} ∩ L_{0}^{+} の数論的部分群である (cf. [Bo, Theorem 6]).

L を V_{ℚ} の格子とし, G_{0,ℚ} ∩ G_{0}^{+} の数論的部分群 Γ で L は Γ-不変, ϕ は Γ_{L}-不変となるものを固定する. さて, ゼータ積分 Z_{ϕ}(f, L; s) (f ∈ S(V_{ℝ})) を

Z_{ϕ}(f, L; s) = Z_{ϕ}(f, L; s_{1}, …, s_{n})  (2)

= ∫_{T^{+}} ∏_{i=1}^{n} χ_{i}(t)^{s_{i}}Δ(t) dt ∫_{G_{0}^{+}/Γ} ϕ(h) ∑_{x∈L−S} f(ρ(thu)x) dh du

と定義する.

以下では,

{(A-5) 任意の f ∈ S(V_{ℝ}) に対し, 積分 Z_{ϕ}(f, L; s) は Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十分大きいとき絶 \atop 対収束する}

と仮定する.

注意. 条件 (A-1) の下では ϕ が有界, とくに cusp form ならばこの条件は成り立つ. より一般に L^{2}-保型形式くらいで成立すると思われるが, ちょっとはっきりしない. (A-1) は成り立っていなくとも, ϕ が急減少のような場合は (A-5) が成り立つことがあり, そのときはそれでかまわない.

II.3 Γ_{L}-不変関数 ϕ の周期

x ∈ V_{ℚ} \ S_{ℚ} に対し Γ_{x} = Γ ∩ G_{x}^{+} とおく. また,

\begin{aligned}L_{(x)}^{+} & = & p(G_{x}^{+}) (⊂ L_{0}^{+}), & Γ_{(x)} & = & p(Γ_{x}) (⊂ L_{(x)}^{+}), \\ U_{x}^{+} & = & G_{x}^{+} ∩ U^{+}, & Γ_{U,x} & = & Γ_{x} ∩ U^{+} \end{aligned}

とおく. ここで, G_{x}^{+} ⊂ G_{0}^{+} であることに注意する. L_{(x)}^{+}, U_{x} 上の Haar 測度 dν_{x}, dτ_{x} を, それぞれ,

∫_{G_{x}^{+}/Γ_{x}} F (h) dμ_{x}(h) = ∫_{L_{(x)}^{+}} dν_{x}(η) ∫_{U_{x}^{+}} F (ηu) dτ_{x}(u), ∫_{U_{x}^{+}/Γ_{U,x}} dτ_{x} = 1

が成り立つように正規化する. （dμ_{x} の定義は, (1) を見よ. また, U_{x}^{+}/Γ_{U,x} の体積の有限性は (A-5) から従う. ）

V_{ℝ} \ S_{ℝ} の各連結成分 V_{i} から代表点 x_{i} をとり, 等質空間 X_{i} = L_{0}^{+}/L_{(x_{i})}^{+} を考える. すべての x ∈ V_{i} に対し, x = ρ(t_{x}h_{x}u_{x})x_{i} となるような t_{x} ∈ T^{+}, h_{x} ∈ L_{0}^{+}, u_{x} ∈ U^{+} を選んでおく. このとき, V_{i} から X_{i} への写像 ¯ : V_{i} ⟶ X_{i} が x ⟼ x̄ = h_{x} · L_{(x_{i})}^{+} ∈ X_{i} によって定義される. X_{i} の点 x̄ は h_{x} の選び方によらずに定まり, 写像¯は L_{0}^{+}-同変な実解析的写像となっている.

x ∈ V_{ℚ} ∩ V_{i}, y ∈ V_{i} に対して,

M_{x}^{(i)}ϕ(ȳ) = ∫_{L_{(x)}^{+}/Γ_{(x)}} ϕ(h_{y}h_{x}^{−1}η) dν_{x}(η)  (3)

とおき, この積分を ϕ の x における周期という. 我々は M_{x}^{(i)}ϕ を X_{i} 上の関数とみなす. x の関数としては, Γ-不変である.

補題 Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十分大きいとき,

Z_{ϕ}(f, L; s) = ∑_{i=1}^{ν} ∑_{x∈Γ\L∩V_{i}} \frac{1}{∏_{j=1}^{n} |P_{j}(x)|^{s_{j}}} ∫_{V_{i}} ∏_{j=1}^{n} |P_{j}(y)|^{s_{j}} f(y)M_{x}^{(i)}ϕ(ȳ) dω(y)

が成り立つ.

II.4 球関数付き局所ゼータ関数と保型形式付きゼータ関数

K を L_{0}^{+} の極大コンパクト群, π を有限次元 Hilbert 空間 W_{π} 上の K の unitary 表現とする. Z(L_{0}^{+}) で L_{0}^{+} 上の両側不変微分作用素のなす多元環を表す. χ : Z(L_{0}^{+}) ⟶ ℂ を無限小指標とする. このとき, 関数 ϕ : L_{0}^{+} ⟶ W_{π} が以下の条件を満たすならば, Γ_{L} に関するタイプ (χ, π) の保型形式といわれる：

Dϕ = χ(D)ϕ  (D ∈ Z(L_{0}^{+})),
ϕ(khγ) = π(k)ϕ(h)  (k ∈ K, h ∈ L_{0}^{+}, γ ∈ Γ_{L}),
ϕ は緩増加.

A(L_{0}^{+}/Γ_{L}; π, χ) で Γ_{L} に関するタイプ (π, χ) の保型形式の空間を表す. 保型形式空間 A(L_{0}^{+}/Γ_{L}; π, χ) の次元は有限であることが知られている.

任意の両側不変微分作用素 D ∈ Z(L_{0}^{+}) から, 等質空間 X_{i} = L_{0}^{+}/L_{(x_{i})}^{+} 上の L_{0}^{+}-不変微分作用素が誘導される. これを D̄ と表す. 関数 ψ : X_{i} ⟶ W_{π} が条件

\begin{aligned}D̄ψ & = & χ(D)ψ & (D ∈ Z(L_{0}^{+})), \\ ψ(kx̄) & = & π(k)ψ(x̄) & (k ∈ K, x̄ ∈ X_{i}) \end{aligned}

を満たすとき, タイプ (π, χ) の球関数であるという. X_{i} 上のタイプ (π, χ) の球関数の空間を E(X_{i}; π, χ) と表す.

補題 ϕ を A(L_{0}^{+}/Γ_{L}; π, χ) に属す保型形式とする. 積分 (3) が絶対収束しているならば, x における周期 M_{x}^{(i)}ϕ は E(X_{i}; π, χ) に属す球関数である.

ゼータ関数を定義するための最後の仮定は次のとおりである:

(A-6) 球関数の空間 E(X_{i}; π, χ) (1 ≤ i ≤ ν) は有限次元である.

m_{i} = dim E(X_{i}; π, χ) (1 ≤ i ≤ ν) とおき, E(X_{i}; π, χ) の基底 {ψ_{1}^{(i)}, …, ψ_{m_{i}}^{(i)}} を固定しておく. 上の補題により M_{x}^{(i)}ϕ は ψ_{1}^{(i)}, …, ψ_{m_{i}}^{(i)} の線形結合で表される:

M_{x}^{(i)}ϕ = ∑_{l=1}^{m_{i}} c_{l}^{(i)}(ϕ; x) ψ_{l}^{(i)}.  (4)

このとき, 係数 c_{l}^{(i)}(ϕ; x) は x の関数として, 有理点集合 V_{ℚ} ∩ V_{i} 上の Γ-不変な関数とみなすことができる.

さて, 保型形式 ϕ に付随するゼータ関数 ζ_{l}^{(i)}(ϕ, L; s) と ϕ のタイプに依存する局所ゼータ関数 Φ_{l}^{(i)}(f; π, χ, s) を

ζ_{l}^{(i)}(ϕ, L; s) = ∑_{x∈Γ\L∩V_{i}} \frac{c_{l}^{(i)}(ϕ; x)}{∏_{j=1}^{n} |P_{j}(x)|^{s_{j}}} ,
Φ_{l}^{(i)}(f; π, χ, s) = ∫_{V_{i}} ∏_{j=1}^{n} |P_{j}(y)|^{s_{j}} ψ_{l}^{(i)}(ȳ)f(y) dω(y)
(1 ≤ i ≤ ν, 1 ≤ l ≤ m_{i})

によって定義する. 補題 I.4 と等式 (4) から, 容易に次の積分表示が得られる：

命題概均質ベクトル空間 (G, ρ, V) は条件 (A-2) – (A-6) を満足しているとする. このとき, Re(s_{1}), …, Re(s_{n}) が十分大きいならば, 等式

Z_{ϕ}(f, L; s) = ∑_{i=1}^{ν} ∑_{l=1}^{m_{i}} ζ_{l}^{(i)}(ϕ, L; s) Φ_{l}^{(i)}(f; π, χ, s)

が成立する.

注意. 係数 c_{l}^{(i)}(ϕ; x) は, X_{i} の点 {ȳ_{t}} を適当に選べば, ⟨M_{x}^{(i)}ϕ(ȳ_{t}), e_{s}⟩ の形の x の関数の有限線形結合として表される. ここで, {e_{s}} は W_{π} の正規直交基底, ⟨ , ⟩ は W_{π} 上の内積とした. すなわち, 上で導入したゼータ関数の係数は, 大雑把には保型形式 ϕ の周期であると言ってよい.

さて, 上の命題に与えられたような積分表示が得られたとすると, 次になすべきことは以下の問題を順次解いていくことである：

1. Z_{ϕ}(f, L; s) の満たす関数等式を証明する;

2. 球関数の空間 E(X_{i}; π, χ) を記述する（例えば, 基底を具体的に構成したい） ;

3. 球関数付きの局所ゼータ関数 Φ_{l}^{(i)}(f; π, χ, s) の満たす関数等式を示す;

4. b-関数の対応物を見いだす.

第 1 の問題は Poisson の和公式（と微分作用素を用いた特異集合の寄与の消去のテクニック）を用いて解決される. この部分は, 保型形式のつかない古典的ゼータ関数の場合と何ら変わるところはない. 第 2, 3, 4 の問題は, 次のような場合に解けている. まず, 最も簡単な場合は a) 量指標ケース – ϕ は L_{0}^{+} の quasi-character

である. このケースは [S3, §2.1] で論じてある.

b) 対称空間ケース – X_{i} (1 ≤ i ≤ ν) が reductive 対称空間となる場合 (Oshima, ないしは van den Ban の結果による) ([S3] 参照);

c) コンパクトケース –L_{0}^{+} がコンパクト Lie 群の場合 (Peter-Weyl の定理による) ([S4] 参照).

II.5 保型形式付ゼータ関数と Functoriality

このところ Ibukiyama, Saito, Katsurada 等によりゼータ関数の明示公式についての研究がかなり進展したが, この問題を保型形式付ゼータ関数の視点から考察 (speculation) してみよう. ゼータ関数の定義（というより, むしろ, 積分表示を導く計算）から, 保型形式 ϕ の周期

∫_{L_{(x)}^{+}/Γ_{(x)}} ϕ(hη)dν_{x}(η)

が ḣ ∈ L^{+}/L_{(x)}^{+} の関数として恒等的に消えてしまえば, ゼータ関数も恒等的に 0 に等しい.

さて, ここで, 保型形式の周期の消滅・非消滅は保型形式の持ち上げの問題と関係することが, （少なくとも対称部分群に関する周期については） Rallis-Jacquet 等によって予想されている. この種の予想がいま問題としている保型形式について成り立っているならば, 保型形式からゼータ関数への対応は

L_{0} の保型形式 ϕ  ⟶  ゼータ関数 ζ_{l}^{(i)}(ϕ, L; s)
↘  ↗

ある別の群 L′ の保型形式 ψ

と split する. したがって, 保型形式付ゼータ関数は ψ を用いて記述することが（つぶれるべきデータをつぶしておいて記述するという意味で）合理的であると考えられる. この立場からすると, ゼータ関数の明示公式は, ϕ に対応する ψ から得られる何らかの L 関数を用いて与えられ, しかも, いかなる L 関数が登場すべきかが考察の対象となっている概均質ベクトル空間の幾何学的構造から明瞭に読み取れるようになったとき, ひとまず満足すべき理解に到達したということができる.

次の節では, このような問題意識に沿って, ある対称空間ケースについて保型形式付ゼータ関数の具体例を考察する. その過程で, 球関数の決定・球関数付局所ゼータ関数の関数等式などがどのようにして得られるのかをあわせて説明しよう.

III. (SL_{2} × SL_{2} × GL_{2}, M_{2} ⊕ M_{2}) の保型形式付ゼータ関数

III.1 状況設定

§I.1 例 2 で与えた概均質ベクトル空間について, L = SL_{2} × SL_{2} × GL_{1}, U = {1} × {1} × SL_{2} と考える.^{1} 前節の記号によるとこのとき,

G_{0} = SL_{2} × SL_{2} × SL_{2},  L_{0} = SL_{2} × SL_{2} × {1},  T = {1} × {1} × GL_{1}
U^{+} = {1} × {1} × SL_{2}(ℝ),  L_{0}^{+} = SL_{2}(ℝ) × SL_{2}(ℝ) × {1},  T^{+} = {1} × {1} × ℝ_{+}^{×}

であり, これは, 第 1, 2 因子の SL_{2} に保型形式を考えることを意味する.^{2} ここでは, L = M_{2}(ℤ) ⊕ M_{2}(ℤ), Γ = SL_{2}(ℤ) × SL_{2}(ℤ) × SL_{2}(ℤ) とし, 保型形式としては, Maass cusp form 2 個の pair を考えることにする. 正則な楕円モジュラー形式を考えることも同様にできる.

では, ここで考える Maass cusp form の定義を与えておこう. ℌ = {z ∈ ℂ | ℑz > 0} とおく. よく知られているように Γ_{0} := SL_{2}(ℤ) は ℌ に 1 次分数変換で作用する. L^{2}(Γ_{0}\ℌ) を Γ_{0}\ℌ 上の SL_{2}(ℝ)-不変測度\frac{dx dy}{y^{2}} に関する 2 乗可積分関数の空間とし,

𝔖_{0}^{+}(Γ_{0}\ℌ, λ) = \{ϕ ∈ L^{2}(Γ_{0}\ℌ) | \begin{matrix}Δ_{0}ϕ + λ(1 − λ)ϕ = 0, ϕ(−z̄) = ϕ(z) \\ ∫_{0}^{1} ϕ(x + iy) dx = 0 \end{matrix} \}

とおく. ここで, Δ_{0} = y^{2} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} ) は非ユークリッド的 Laplacian である. 𝔖_{0}^{+}(Γ_{0}\ℌ, λ) に属する関数を even Maass cusp form (of weight 0) という. ϕ ∈ 𝔖_{0}^{+}(Γ_{0}\ℌ, λ) を

ϕ̃(h) = ϕ(h^{−1} · \sqrt{−1}) (h ∈ SL_{2}(ℝ))

によって SL_{2}(ℝ) 上の関数に引き上げる. このとき, ϕ̃ は右 Γ_{0}-不変, 左 SO(2)-不変な関数で

Cϕ = λ(λ − 1)ϕ

を満たす. すなわち, ϕ のタイプは (π_{0}, χ_{λ}) （ここで χ_{λ}(C) = λ(λ − 1), π_{0} は自明な表現）である. ここで, C は Casimir 作用素で, g ∈ SL_{2}(ℝ) を

g = n_{x}a_{y}k_{θ}, n_{x} = ( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , a_{y} = ( \begin{matrix}\sqrt{y} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{y} \end{matrix} ) , k_{θ} = ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} )

と Iwasawa 分解でパラメータ付けしたとき,

C = y^{2} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} ) + y \frac{∂^{2}}{∂x∂θ}

で与えられる. SL_{2}(ℝ) 上の両側不変微分作用素は C の多項式で尽くされる. ϕ_{1} ∈ 𝔖_{0}^{+}(Γ_{0}\ℌ, λ_{1}), ϕ_{2} ∈ 𝔖_{0}^{+}(Γ_{0}\ℌ, λ_{2}) に対して, ゼータ積分

1ここで, 群 G の第 3 因子の GL_{2} を GL_{1} × SL_{2} で置き換えて考えている. これは別に必要なことではないが, §II の定式化にあわせるためだけである.

2第 3 因子にまで保型形式をつけることは, 現時点では一般論としては不可能である. これは, §I.1 例 5 において, G をその Borel 部分群にまで小さくすると概均質ベクトル空間にならないということが理由である.

Z_{ϕ_{1},ϕ_{2}}(f, L; s) = ∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{(SL_{2}(ℝ)/SL_{2}(ℤ))^{3}} ϕ̃_{1}(h_{1})ϕ̃_{2}(h_{2}) ∑_{v∈L\S} f(ρ(h_{1}, h_{2}, th_{3})v) dh_{1} dh_{2} dh_{3}

を考える. ここで, dh_{i} は SL_{2}(ℝ) の Haar 測度である. ϕ_{1}, ϕ_{2} が cusp form であることから, この積分は Re(s) が十分大きいとき絶対収束することが示される.

III.2 概均質ベクトル空間 (SL_{2} × SL_{2} × GL_{2}, M_{2} ⊕ f̄M_{2}) の構造

上で導入したゼータ積分からゼータ関数, 局所ゼータ関数を取り出すためにまずなすべきことは, 周期積分を定義するところの generic isotropy subgroup の記述, そして周期積分から得られるはずの球関数の存在領域たる等質空間 X の記述である.

補題 (1) 写像 σ : M_{2} → Sym_{2} を

σ(A) = JA +^{t}(JA), J = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

によって定める. このとき, v = (v_{1}, v_{2}) ∈ M_{2} ⊕ M_{2} に対して

det σ(v_{1}v_{2}^{∗}) = det σ(v_{1}^{∗}v_{2}) = det π(v) = P (v)

が成り立つ.

(2) X = {(Y_{1}, Y_{2}) ∈ Sym_{2} ⊕ Sym_{2} | det Y_{1} = det Y_{2}} とおくと, 写像

q : V = M_{2} ⊕ M_{2} ⟶ X, q(v) = (q_{1}(v), q_{2}(v)) = (σ(v_{1}v_{2}^{∗}), −σ(v_{1}^{∗}v_{2}))

は, 次を満たす：

(i) q(ρ(h_{1}, h_{2}, g)v) = det g(q_{1}(v)[h_{1}^{−1}], q_{2}(v)[h_{2}^{−1}]), (h_{1}, h_{2}, g) ∈ G. (ii) v, v′ ∈ V_{k} \ S_{k} について, q(v) = q(v′) ⟺ v′ = ρ(1, 1, g)v (∃g ∈ SL_{2}(k)). (iii) 実は, X ≅ V/SL_{2}.

系 v ∈ V \ S に対し, [G_{v} : G_{v}^{∘}] = 2 であり,

G_{v}^{∘} ∋ (h_{1}, h_{2}, g) ⟼ (h_{1}, h_{2}) ∈ SO(q_{1}(v)) × SO(q_{2}(v))

は同型写像を与える.

次に, ゼータ関数の明示計算の準備として, 上の写像 q を ℤ 上で調べておこう. 言葉を用意する. v ∈ L に対し

v = (v_{1}, v_{2}) = (( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix} )) ⟼ ṽ = ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \\ d_{1} & d_{2} \end{matrix} )

によって定まる 4 × 2 行列 ṽ ∈ M_{4,2}(ℤ) が primitive のとき（すなわち, SL_{4}(ℤ) の元に延長できるとき） , v を primitive という. また, Sym_{2}^{∗}(ℤ) をサイズ 2 の even integral な対称行列の集合として, (Y_{1}, Y_{2}) ∈ X ∩ (Sym_{2}^{∗}(ℤ) × Sym_{2}^{∗}(ℤ)) は, n ≥ 2 のとき n^{−1}(Y_{1}, Y_{2}) ∉ X ∩ (Sym_{2}^{∗}(ℤ) × Sym_{2}^{∗}(ℤ)) ならば, primitive pair といわれる. L_{pr} で L \ S に属す primitive な元の全体を, X_{pr} で det Y_{1} = det Y_{2} ≠ 0 である primitive pair (Y_{1}, Y_{2}) の全体を表そう.

補題 (1) v ∈ L について,

q(v) ∈ X_{pr} ⟺ v ∈ L_{pr}.

(2) q によって引き起こされる写像

ρ(Γ)\L_{pr} ⟶ (Γ_{0} × Γ_{0})\X_{pr}

は全単射である.

(3) v ∈ L_{pr} のとき, 上の系で与えた写像は同型写像

G_{v}^{∘}(ℤ) ⟶^{≅} SO(q_{1}(v))(ℤ) × SO(q_{2}(v))(ℤ)

を引き起こす. （注： v ∈ L \ S が primitive でないときには, G_{v}^{∘}(ℤ) の像は右辺の群の指数有限部分群となる. ）

V(ℝ) \ S(ℝ) の連結成分への分解も, 写像 q の像を見ることで分類できる. すなわち,

V(ℝ) \ S(ℝ) = V_{0,+} ∪ V_{0,−} ∪ V_{1} ∪ V_{2,+} ∪ V_{2,−},
V_{0,+} = {v ∈ V(ℝ) | sgn(q_{1}(v)) = sgn(q_{2}(v)) = (2, 0)} ,
V_{0,−} = {v ∈ V(ℝ) | sgn(q_{1}(v)) = sgn(q_{2}(v)) = (0, 2)} ,
V_{1} = {v ∈ V(ℝ) | sgn(q_{1}(v)) = sgn(q_{2}(v)) = (1, 1)} ,
V_{2,+} = {v ∈ V(ℝ) | sgn(q_{1}(v)) = (0, 2), sgn(q_{2}(v)) = (2, 0)} ,
V_{2,−} = {v ∈ V(ℝ) | sgn(q_{1}(v)) = (2, 0), sgn(q_{2}(v)) = (0, 2)}

が連結成分への分解を与える. また, V_{1} は π の像でも

V_{1} = {v ∈ V(ℝ) | sgn(π(v)) = (1, 1)}

と特徴付けられ, その他の成分については

V_{i,+} ∪ V_{i,−} = {v ∈ V(ℝ) | sgn(π(v)) = (2 − i, i)} (i = 0, 2)

が成り立つ.

各連結成分の代表点は

\begin{matrix}v_{±}^{(0)} = (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ± ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )) , & v_{±}^{(2)} = (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ± ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )) , \\ v^{(1)} = (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )) \end{matrix}

ととれる. π, q による像は

\begin{matrix}π(v_{±}^{(0)}) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , & q(v_{±}^{(0)}) = ± (( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )) , \\ π(v^{(1)}) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , & q(v^{(1)}) = (( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )) , \\ π(v_{±}^{(2)}) = ( \begin{matrix}−2 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) , & π(v_{±}^{(2)}) = ± (( \begin{matrix}−2 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )) \end{matrix}

となる.

ここで, ゼータ関数の計算に必要な測度の正規化について注意しておこう. まず, V(ℝ) \ S(ℝ) 上の不変測度 dω は

dω(v) = |P (v)|^{−2} dv (dv は自然な Lebesgue 測度)

と与えられる. 次に, v ∈ V(ℝ) \ S(ℝ) のとき,

G_{v}^{+} ∋ (h_{1}, h_{2}, g) ⟼ (h_{1}, h_{2}) ∈ SO(q_{1}(v))(ℝ) × SO(q_{2}(v))(ℝ)

は同型であった. したがって, G_{v}^{+} 上の不変測度 dμ_{v} は dμ_{v} = dμ_{1,v} dμ_{2,v} と SO(q_{1}(v))(ℝ) 上の測度と SO(q_{2}(v))(ℝ) 上の測度の積に分解する. この測度は次のように正規化できる.^{3}

q_{i}(v) が定値ならば SO(q_{i}(v))(ℝ) は

SO(2) = \{k_{θ} = ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) | θ ∈ ℝ/2πℤ\}

に共役である. このとき, SO(2) の不変測度 dθ から共役同型を通じて誘導される SO(q_{i}(v))(ℝ) の不変測度を dν_{i,v} とする.

q_{i}(v) が不定値ならば SO(q_{i}(v))(ℝ) は

SO(1, 1) = \{a_{y} = ( \begin{matrix}\sqrt{y} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{y}} \end{matrix} ) | y ∈ ℝ_{+}^{×}\}

に共役である. このとき, SO(1, 1) の不変測度 y^{−1}dy から共役同型を通じて誘導される SO(q_{i}(v))(ℝ) の不変測度を dν_{i,v} とする.

III.3 球関数と局所ゼータ関数

V_{0,±}, V_{2,±} の構造はどれも全く同様なので, V_{0,±} と V_{1} について考察する.

P_{0} = {Y ∈ Sym_{2}(ℝ) | det Y = 1, sgnY = (2, 0)} , P_{1} = {Y ∈ Sym_{2}(ℝ) | det Y = −1}

3SL_{2}(ℝ) 上の測度 dh_{1}, dh_{2}, dh_{3} をうまく正規化しておくとこうできるという意味.

とおく. このとき, L_{0}^{+} = L_{v_{+}^{(0)}}^{+}, L_{1}^{+} = L_{v^{(1)}}^{+} と略記すると,

X_{i} = L_{0}^{+}/L_{i}^{+} ∋ (h_{1}, h_{2})L_{i}^{+} ⟼ 2^{−1}q(ρ(h_{1}, h_{2}, 1)v^{(i)}) = 2^{−1}(q_{1}(v^{(i)})[h_{1}^{−1}], q_{2}(v^{(i)})[h_{2}^{−1}]) ∈ P_{i} × P_{i}

は同型である. また, v ∈ V_{i} に対して, v̄ = q̄(v) := |P (v)|^{−1/2} q(v) によって, 写像 q̄: V_{i} → X_{i} を定義する.

さて, L_{0}^{+} の極大コンパクト部分群 SO(2)×SO(2) の trivial な表現 π_{0} ⊗π_{0} と L_{0}^{+} の無限小指標 χ_{λ_{1}} ⊗χ_{λ_{2}} に対し, タイプ (π_{0} ⊗ π_{0}, χ_{λ_{1}} ⊗ χ_{λ_{2}}) の球関数の空間 E(X_{i}; π_{0} ⊗ π_{0}, χ_{λ_{1}} ⊗ χ_{λ_{2}}) を決定しなくてはならない. E(X_{i}; π_{0} ⊗ π_{0}, χ_{λ_{1}} ⊗ χ_{λ_{2}}) = E(P_{i}; π_{0}, χ_{λ_{1}}) ⊗ E(P_{i}; π_{0}, χ_{λ_{2}}) であるから, E(P_{i}; π_{0}, χ_{λ}) を決定すればよい.

補題 ([Ro, Theorems 6 and 10], [Se]) (1) x̄ ∈ P_{0} とし, e^{α}, e^{−α} (α ∈ ℝ) をその固有値とする. このとき, E(P_{0}; π_{0}, λ) に属す球関数は

ψ_{λ}(x̄) = P_{−λ} (cosh(α))

の定数倍である. ここで, P_{−λ}(z) は Legendre 関数であり, Gauss の超幾何関数を用いて次のように表される:

P_{−λ}(z) = F (λ, 1 − λ; 1; \frac{1 − z}{2} ) .

(2) x̄ ∈ P_{1} とし, e^{α}, −e^{−α} (α ∈ ℝ) をその固有値とする. このとき, E(P_{1}; π_{0}, λ) に属す球関数は

ψ_{λ}^{+}(x̄) = cosh(−α)^{−1/2}P_{−1/2}^{λ−(1/2)} (tanh(−α)) ,
ψ_{λ}^{−}(x̄) = cosh(α)^{−1/2}P_{−1/2}^{λ−(1/2)} (tanh(α)) ,

の一次結合である. ここで, P_{−1/2}^{λ−(1/2)}(z) は Legendre の陪関数であり, Gauss の超幾何関数を用いて次のように表される:

P_{−1/2}^{λ−(1/2)}(z) = \frac{1}{Γ(\frac{3}{2} − λ)} (\frac{1 + z}{1 − z} )^{\frac{2λ−1}{4}} F (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; \frac{3}{2} − λ; \frac{1 − z}{2} ) .

(3) 関数 ψ_{λ}(x̄), ψ_{λ}^{±}(x̄) は次の積分表示を持つ：

ψ_{λ}(x̄) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(k_{θ} · x̄)_{11}^{−λ} dθ,
ψ_{λ}^{+}(x̄) = \frac{1}{\sqrt{2π} Γ(1 − λ)} ∫_{0}^{2π} |(k_{θ} · x̄)_{11}|_{+}^{−λ} dθ,
ψ_{λ}^{−}(x̄) = \frac{1}{\sqrt{2π} Γ(1 − λ)} ∫_{0}^{2π} |(k_{θ} · x̄)_{11}|_{−}^{−λ} dθ.

ここで, A_{11} は行列 A の (1, 1)-成分を表し, |t|_{±} は

|t|_{+} = \{ \begin{matrix}t & (t > 0) \\ 0 & (t ≤ 0) \end{matrix} , |t|_{−} = |−t|_{+}

である.

この補題で, ψ_{λ} は SL_{2}(ℝ) の帯球関数であり, (1) はよく知られている. また, P_{i} を一般の半単純対称空間とするとき, (3) を一般化した形の積分表示を用いて球関数空間の基底の構成がなされている (Oshima).

これより, 局所ゼータ関数としては

Φ_{i,±}(f; λ_{1}, λ_{2}, s) = ∫_{V_{i,±}} |P (y)|^{s−2} ψ_{λ_{1}}(ȳ_{1})ψ_{λ_{2}}(ȳ_{2}) f(y) dy (i = 0, 2),
Φ_{1}^{ϵ_{1},ϵ_{2}}(f; λ_{1}, λ_{2}, s) = ∫_{V_{i,±}} |P (y)|^{s−2} ψ_{λ_{1}}^{ϵ_{1}}(ȳ_{1})ψ_{λ_{2}}^{ϵ_{2}}(ȳ_{2}) f(y) dy (ϵ_{1}, ϵ_{2} = ±)

を考えることになる.

補題 (3) で与えられた球関数の積分表示式より, 局所関数等式の成立がわかる (§III.5). 実際, これらは §1, 例 5 の概均質ベクトル空間の局所ゼータ関数と理解される. これは, 一般の ‘対称空間ケース’ に一般化される.

後の都合で, 上の局所ゼータ関数をまとめたものに記号を与えておく.

Φ_{0}(f; λ_{1}, λ_{2}, s) = ∑_{i=0,2} ∑_{ϵ=±} Φ_{0,ϵ}(f; λ_{1}, λ_{2}, s),
Φ_{1}(f; λ_{1}, λ_{2}, s) = ∑_{ϵ_{1},ϵ_{2}=±} Φ_{1}^{ϵ_{1},ϵ_{2}}(f; λ_{1}, λ_{2}, s).

III.4 Maass 対応とゼータ関数の記述

さて, Maass cusp form の pair ϕ_{1}, ϕ_{2} の周期は x ∈ V_{i} ∩ L, y ∈ V_{i} に対し,

M_{x}^{(i)}(ϕ_{1} ⊗ ϕ_{2})(ȳ) = [SO(q_{1}(x))(ℤ) × SO(q_{2}(x))(ℤ) : G_{v}^{∘}(ℤ)]
× ∫_{SO(q_{1}(x))(ℝ)/SO(q_{1}(x))(ℤ)} ϕ_{1}(h_{1,y}h_{1,x}^{−1}η_{1}) dν_{1,x}(η_{1})
× ∫_{SO(q_{2}(x))(ℝ)/SO(q_{2}(x))(ℤ)} ϕ_{2}(h_{2,y}h_{2,x}^{−1}η_{2}) dν_{2,x}(η_{2})

と ϕ_{1} の周期と ϕ_{2} の周期の積に分解する. この周期に関する保型形式の持ち上げ問題は, いわゆる Maass 対応である. これを, [KS] に従って復習しよう.

γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(4) に対して重さ 1/2 の保型因子を

J(γ, z) = ϵ_{d}^{−1} (\frac{c}{d}) (\frac{cz + d}{|cz + d|})^{1/2} , ϵ_{d} = \{ \begin{matrix}1 & d ≡ 1 (mod 4) \\ \sqrt{−1} & d ≡ 3 (mod 4) \end{matrix}

と定義する. ここで, Legendre 記号 (\frac{c}{d}) は [Shm] と同じ意味である. 重さ 1/2 の Maass cusp form の空間を

𝔖_{1/2}^{+}(Γ_{0}(4)\ℌ, μ) = \{F : ℌ → ℂ | \begin{matrix}F (γ · z) = J(γ, z)F (z) (∀γ ∈ Γ_{0}(4)) \\ Δ_{1/2}F + μ(1 − μ)F = 0, LF = F \\ ∫_{0}^{1} F (x + iy) dx = 0, ∫_{Γ_{0}(4)\ℌ} |F (z)|^{2} \frac{dx dy}{y^{2}} < ∞ \end{matrix} \} ,

によって定義する. ここで,

Δ_{1/2} = y^{2} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} ) − \frac{iy}{2} \frac{∂}{∂x},
LF (z) = \frac{1}{4}e^{iπ/4} (\frac{z}{|z|})^{−1/2} ∑_{ν mod4} F (\frac{−1 + 4νz}{16z} ) .

である. Maass cusp form F ∈ 𝔖_{1/2}^{+}(Γ_{0}(4)\ℌ, μ) は

F (z) = ∑_{n≠0} ρ(n)W_{\frac{1}{4} sgn(n),μ− \frac{1}{2}} (4π |n| y)e[nx]

の形の Fourier 展開を持つ. ただし, e[x] = exp(2πix) である.

このとき, Maass 対応（テータ対応）は

Θ : 𝔖_{0}^{+}(Γ_{0}\ℌ, λ) ⟶ 𝔖_{1/2}^{+}(Γ_{0}(4)\ℌ, μ), μ = \frac{2λ + 1}{4}

という写像を与える. この写像 Θ の核は SO(2) の周期が消える様な Maass cusp form の空間である ([KS], Proposition 2.3).

ϕ ∈ 𝔖_{0}^{+}(Γ_{0}\ℌ, λ) に対応する重さ 1/2 の Maass cusp form の Fourier 展開を

Θ(ϕ)(z) = ∑_{n≠0} ρ(Θ(ϕ); n)W_{\frac{1}{4} sgn(n),μ− \frac{1}{2}} (4π |n| y)e[nx]

としよう. このとき, Fourier 係数は

ρ(Θ(ϕ); n) = |n|^{−3/4} ∑_{{x∈Γ_{0}\Sym_{2}^{∗}(ℤ) \atop det x=n}} ∫_{SO(x)(ℝ)/SO(x)(ℤ)} ϕ(g_{x}^{−1}h) dμ_{x}(h) × \{ \begin{matrix}1/2\sqrt{π} & (n > 0), \\ 1 & (n < 0), \end{matrix}  (5)

と与えられる. ここで, g_{x} は

x = \{ \begin{matrix}±\sqrt{n}g_{x} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{t}g_{x} & if x is definite, \\ \sqrt{|n|}g_{x} ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )^{t}g_{x} & if x is indefinite \end{matrix}

となる SL_{2}(ℝ) の元である ([KS], [M]). [KS] では逆方向の対応（Shimura-Niwa 対応）も与えられている.

では, ゼータ積分 Z_{ϕ_{1},ϕ_{2}}(f, L; s) を計算し, ゼータ関数を取り出そう. ϕ_{1}, ϕ_{2} に対応する重さ 1/2 の Maass cusp form を Θ(ϕ_{1}) ∈ 𝔖_{1/2}^{+}(Γ_{0}(4)\ℌ, μ_{1}) (μ_{1} = \frac{2λ_{1}+1}{4}), Θ(ϕ_{2}) ∈ 𝔖_{1/2}^{+}(Γ_{0}(4)\ℌ, μ_{2}) (μ_{2} = \frac{2λ_{2}+1}{4}) とし, Fourier 展開しておく：

Θ(ϕ_{1})(z) = ∑_{n≠0} ρ_{1}(n)W_{\frac{1}{4} sgn(n),μ− \frac{1}{2}} (4π |n| y)e[nx],
Θ(ϕ_{2})(z) = ∑_{n≠0} ρ_{2}(n)W_{\frac{1}{4} sgn(n),μ− \frac{1}{2}} (4π |n| y)e[nx].

これらの Fourier 係数を用いて Dirichlet 級数 D_{±}(ϕ_{1}, ϕ_{2}; s) を

D_{±}(ϕ_{1}, ϕ_{2}; s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{ρ_{1}(±n)ρ_{2}(±n)}{n^{s}}

と定義する. 定理 Re(s) が十分大きいとき,

Z_{ϕ_{1},ϕ_{2}}(f, L; s) = πζ(2s − 1)D_{+} (ϕ_{1}, ϕ_{2}; s − \frac{3}{2}) Φ_{0}(f; λ_{1}, λ_{2}, s)

+\frac{Γ(1 − \frac{λ_{1}}{2} )^{2}Γ(1 − \frac{λ_{2}}{2} )^{2}}{2^{λ_{1}+λ_{2}−1}π} · ζ(2s − 1)D_{−} (ϕ_{1}, ϕ_{2}; s − \frac{3}{2}) Φ_{1}(f; λ_{1}, λ_{2}, s)

が成り立つ.

以下, この節は上の定理の証明を行う. 準備として, 次の補題を証明しよう. 補題 Δ = GL_{2}^{+}(ℚ) ∩ M(2, ℤ) とおく. GL_{2}^{+}(ℝ) 上の Γ_{0}-不変関数 f について（左辺の積分が絶対収束するならば） , 積分公式

∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ∑_{T ∈Δ/Γ_{0}} f(thT) dh = ζ(2s)ζ(2s − 1) ∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} f(th) dh

が成り立つ.

証明. Δ_{n} = {T ∈ Δ | det T = n} とおく. Δ_{n} を Δ = ⋃_{i} δ_{i} Γ_{0} と剰余類分解する. また Γ_{Δ,n} = Γ_{0} ∩ (⋂_{i} δ_{i}Γ_{0}δ_{i}^{−1}) とおく. このとき,

∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ∑_{T ∈Δ_{n}/Γ_{0}} f(thT) dh

= \frac{1}{[Γ_{0} : Γ_{Δ,n}]} ∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{Δ,n}} ∑_{i} f(thδ_{i}) dh

= \frac{1}{n^{2s}} · \frac{1}{[Γ_{0} : Γ_{Δ,n}]} ∑_{i} ∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/δ_{i}^{−1}Γ_{Δ,n}δ_{i}} f(th) dh

= \frac{1}{n^{2s}} ∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} f(th) dh ∑_{i} \frac{[Γ_{0} : δ_{i}^{−1}Γ_{Δ,n}δ_{i}]}{[Γ_{0} : Γ_{Δ,n}]}.

ここで

[Γ_{0} : δ_{i}^{−1}Γ_{Δ,n}δ_{i}] = [Γ_{0} : Γ_{0} ∩ δ_{i}^{−1}Γ_{0}δ_{i}][Γ_{0} ∩ δ_{i}^{−1}Γ_{0}δ_{i} : δ_{i}^{−1}Γ_{Δ,n}δ_{i}]
= [Γ_{0} : Γ_{0} ∩ δ_{i}Γ_{0}δ_{i}^{−1}][Γ_{0} ∩ δ_{i}Γ_{0}δ_{i}^{−1} : Γ_{Δ,n}]
= [Γ_{0} : Γ_{Δ,n}]

だから,

∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ∑_{T ∈Δ_{n}/Γ_{0}} f(thT) dh = \frac{♯(Δ_{n}/Γ_{0})}{n^{2s}} ∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} f(th) dh

を得る. この両辺の n についての和をとり, ♯(Δ_{n}/Γ_{0}) = ∑_{d|n} d を用いればよい.

定理の証明. v ∈ L \ S は v = x^{t}T (x ∈ L_{pr}, T ∈ Δ/Γ_{0} と一意的に分解できるので, 上の補題から

Z_{ϕ_{1},ϕ_{2}}(f, L; s) = ζ(2s)ζ(2s − 1)Z_{ϕ_{1},ϕ_{2}}(f, L_{pr}; s),
Z_{ϕ_{1},ϕ_{2}}(f, L_{pr}; s) = ∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ϕ_{1}(h_{1}) dh_{1} ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ϕ_{2}(h_{2}) dh_{2}

× ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ∑_{x∈L_{pr}} f(ρ(h_{1}, h_{2}, th_{3})x) dh_{3}

が得られる. よって,

Z_{ϕ_{1},ϕ_{2}}(f, L_{pr}; s) = ∫_{0}^{∞} t^{4s−1} dt ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ϕ_{1}(h_{1}) dh_{1} ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ϕ_{2}(h_{2}) dh_{2}

× ∫_{SL_{2}(ℝ)/Γ_{0}} ∑_{x∈L_{pr}} f(ρ(h_{1}, h_{2}, th_{3})x) dh_{3}

= ∑_{i=0}^{2} ∑_{x∈Γ\L_{pr}∩V^{(i)}} \frac{1}{|P (x)|^{s}} ∫_{V^{(i)}} |P (y)|^{s−2} f(y) dy

∫_{SO(q_{1}(x))(ℝ)/SO(q_{1}(x))(ℤ)} ϕ_{1}(h_{1,y}h_{1,x}^{−1}k_{1}) dk_{1} ∫_{SO(q_{2}(x))(ℝ)/SO(q_{2}(x))(ℤ)} ϕ_{2}(h_{2,y}h_{2,x}^{−1}k_{2}) dk_{2}

= ∑_{i=0}^{1} ∑_{(Y_{1},Y_{2})∈Γ_{0}×Γ_{0}\X_{pr}∩ℝ_{+}^{×}(P_{i}×P_{i})} \frac{1}{|det Y |^{s}} ∫_{V^{(i)}} |P (y)|^{s−2} f(y) dy

∫_{SO(Y_{1})(ℝ)/SO(Y_{1})(ℤ)} ϕ_{1}(h_{1,y}h_{Y_{1}}^{−1}k_{1}) dk_{1} ∫_{SO(Y_{2})(ℝ)/SO(Y_{2})(ℤ)} ϕ_{2}(h_{2,y}h_{Y_{2}}^{−1}k_{2}) dk_{2}

となる. ただし, h_{Y} は

Y = \{ \begin{matrix}E[h^{−1}], & E = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) & （Y が definite のとき） \\ J[h^{−1}], & J = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) & Y が indefinite のとき） \end{matrix}

となる h ∈ SL_{2}(ℝ) を表す. 上の式の右辺に現れた周期を計算しよう. 簡単のため, even Maass cusp form ϕ に対し

M_{Y} ϕ(Y′) = ∫_{SO(Y)(ℝ)/SO(Y)(ℤ)} ϕ(h_{Y′}h_{Y}^{−1}k) dk

とおく. 補題 (1) Y が definite のとき,

M_{Y} ϕ(Y′) = M_{Y} ϕ(E)ψ_{λ}(Y′) = \frac{π}{SO(Y)(ℤ)} · ϕ(z_{Y})ψ_{λ}(Y′)

である. ここで, z_{Y} = h_{Y} · \sqrt{−1} とした.

(2) Y が indefinite のとき,

\frac{M_{Y} ϕ(Y′) + M_{−Y} ϕ(Y′)}{2} = \frac{Γ(1 − \frac{λ}{2})^{2}}{2^{λ+(1/2)}\sqrt{π}} \{M_{Y} ϕ(J) (ψ_{λ}^{+}(Y′) + ψ_{λ}^{−}(Y′))\} .

証明. (1) Y が definite のとき, 球関数の空間は 1 次元であった. よって, 補題の等式は

P_{−λ}(1) = 1, すなわち, ψ_{λ}(E) = 1

より直ちに従う.

(2) このときは, 球関数の空間は 2 次元であり, M_{Y} ϕ(Y′) は

M_{Y} ϕ(Y′) = c^{+}(ϕ; Y)ψ_{λ}^{+}(Y′) + c^{−}(ϕ; Y)ψ_{λ}^{−}(Y′)

と表される. h_{−Y} = h_{Y} w, where w = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) であるから,

M_{−Y} ϕ(−Y′) = M_{Y} ϕ(Y′)

である. よって, c^{+}(ϕ; Y) = c^{−}(ϕ; −Y) であり,

M_{Y} ϕ(Y′) + M_{−Y} ϕ(Y′) = (c^{+}(ϕ; Y) + c^{−}(ϕ; Y)) (ψ_{λ}^{+}(Y′) + ψ_{λ}^{−}(Y′)) .

Y′ = J とおいて等式

P_{−1/2}^{λ−(1/2)}(0) = \frac{2^{λ−(1/2)}\sqrt{π}}{Γ(1 − \frac{λ}{2})^{2}}

を使えば,

\frac{M_{Y} ϕ(J) + M_{−Y} ϕ(J)}{2} = \frac{2^{λ−(1/2)}\sqrt{π}}{Γ(1 − \frac{λ}{2})^{2}} (c^{+}(ϕ; Y) + c^{−}(ϕ; Y))

となる.

M_{−Y} ϕ(J) = M_{Y} ϕ(−J) = M_{Y} ϕ(w · J) = M_{Y} ϕ(J),

であるから,

c^{+}(ϕ; Y) + c^{−}(ϕ; Y) = \frac{Γ(1 − \frac{λ}{2})^{2}}{2^{λ−(1/2)}\sqrt{π}} M_{Y} ϕ(J)

が得られた.

この周期の計算より,

V^{(0)} = {v ∈ V(ℝ) | P (x) > 0} , V^{(1)} = {v ∈ V(ℝ) | P (x) < 0} とおくと,

Z_{ϕ_{1},ϕ_{2}}(f, L_{pr}; s)

= \frac{1}{4} ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} ∑_{(Y_{1},Y_{2})∈Γ_{0}^{2}\X_{pr} det Y_{1}=det Y_{2}=n} M_{Y_{1}}ϕ_{1}(E)M_{Y_{2}}ϕ_{2}(E) ∫_{V^{(0)}} |P (y)|^{s−2} ψ_{λ_{1}}(ȳ_{1})ψ_{λ_{2}}(ȳ_{2})f(y) dy

+ ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} ∑_{(Y_{1},Y_{2})∈Γ_{0}^{2}\X_{pr} det Y_{1}=det Y_{2}=−n} \frac{Γ(1 − \frac{λ_{1}}{2} )^{2}Γ(1 − \frac{λ_{2}}{2} )^{2}}{2^{λ_{1}+λ_{2}−1)}π} M_{Y_{1}}ϕ(J)M_{Y_{2}}ϕ(J)

∫_{V^{(1)}} |P (y)|^{s−2} (ψ_{λ_{1}}^{+} + ψ_{λ_{1}}^{−})(ȳ_{1})(ψ_{λ_{2}}^{+} + ψ_{λ_{2}}^{−})(ȳ_{2})f(y) dy

= \frac{1}{4} (∑_{n=1}^{∞} n^{−s} ∑_{(Y_{1},Y_{2})∈Γ_{0}^{2}\X_{pr} det Y_{1}=det Y_{2}=n} M_{Y_{1}}ϕ_{1}(E)M_{Y_{2}}ϕ_{2}(E)) Φ_{0}(f; λ_{1}, λ_{2}; s)

+ \frac{Γ(1 − \frac{λ_{1}}{2} )^{2}Γ(1 − \frac{λ_{2}}{2} )^{2}}{2^{λ_{1}+λ_{2}−1)}π} (∑_{n=1}^{∞} n^{−s} ∑_{(Y_{1},Y_{2})∈Γ_{0}^{2}\X_{pr} det Y_{1}=det Y_{2}=−n} M_{Y_{1}}ϕ(J)M_{Y_{2}}ϕ(J)) Φ_{1}(f; λ_{1}, λ_{2}; s)

が得られる. ここで得られた Dirichlet 級数と D_{±} との関係を見るために, この係数を τ(±n) と記す. このとき,

D_{±} (ϕ_{1}, ϕ_{2}; s − \frac{3}{2}) = c ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} ∑_{d^{2}|n} τ (\frac{±n}{d^{2}}) = c ∑_{m,d=1}^{∞} \frac{τ(±m)}{(md^{2})^{s}} = cζ(2s) ∑_{m=1}^{∞} \frac{τ(±m)}{m^{s}}

である. ここで, c は + のとき 1/4π, − のとき 1 を表す. これより, 定理は直ちに得られる.

III.5 関数等式

ゼータ関数の関数等式は、 (G, ρ, V) のゼータ関数、局所ゼータ関数を (G, ρ^{∗}, V^{∗}) のゼータ関数、局所ゼータ関数と結びつけるものである. ここでは, V = M_{2} ⊕ M_{2} 上の非退化双一次形式

⟨(v_{1}, v_{2}), (w_{1}, w_{2})⟩ = tr(v_{1}w_{1}^{∗}) + tr(v_{2}w_{2}^{∗})

によって, 双対空間 V^{∗} を V と同一視することにする. このとき, 双対表現は

ρ^{∗}(h_{1}, h_{2}, g) = ρ(h_{1}, h_{2},^{t}g^{−1})

で与えられる. したがって, 考察している概均質ベクトル空間の基本相対不変式は同じものであり、双対のゼータ関数・局所ゼータ関数はもとのものと一致し、区別する必要がない.

さて, 局所関数等式が, 球関数の積分表示からどのようにして導かれるかを説明しよう. §I.1 例 5 の概均質ベクトル空間 (BSL_{2} × BSL_{2} × GL_{2}, ρ, M_{2} ⊕ M) を考える. このとき, 基本相対不変式として, P (v) に加えて P_{1}(v) = q_{1}(v)_{11}, P_{2}(v) = q_{2}(v)_{11} がとれる（§I.1, 例 5 で与えたものの 2 倍である） . 上で注意したように, V^{∗} と V を同一視しておけば、双対概均質ベクトル空間の基本相対不変式も P_{1}, P_{2}, P である. 前節まで考えてきた球関数付き局所ゼータ関数は, 次の補題が示すように, この概均質ベクトル空間に対する局所ゼータ関数と解釈されるのである.

補題 f ∈ S(V(ℝ)) に対し,

Φ_{i}(f; λ_{1}, λ_{2}; s) = Ξ_{i} (K(f); −λ_{1}, −λ_{2}; s + \frac{λ_{1} + λ_{2}}{2} ) × \{ \begin{matrix}\frac{1}{(2π)^{2}} & （i = 0 のとき） , \\ \frac{1}{2πΓ(1−λ_{1})Γ(1−λ_{2})} & （i = 1 のとき） \end{matrix}

となる. ここで,

Ξ_{i} (f; μ_{1}, μ_{2}; s) = ∫_{V^{(i)}} |P (v)|^{s−2} |P_{1}(v)|^{μ_{1}} |P_{2}(v)|^{μ_{2}} f(v) dv,
K(f)(v) = ∫_{SO(2)×SO(2)} f(ρ(k_{θ_{1}}, k_{θ_{2}}, E)v) dθ_{1} dθ_{2}

である.

証明.

c_{i} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{(2π)^{2}} & （i = 0 のとき） , \\ \frac{1}{2πΓ(1−λ_{1})Γ(1−λ_{2})} & （i = 0 のとき） \end{matrix}

とおく. まず, i = 0 とする. j = 1, 2 に対し,

ψ_{λ_{j}}(\overline{q_{j}(v)}) = c_{0} ∫_{0}^{2π} |Y [k_{θ}]_{11}|^{−λ_{j}} dθ (Y = \overline{q_{j}(v)})
= c_{0} ∫_{0}^{2π} |q_{j}(ρ(k_{θ_{1}}, k_{θ_{2}}, 1)(v)_{11}|^{−λ_{j}} dθ_{1} dθ_{2}
= c_{0} ∫_{0}^{2π} (\begin{matrix}| & P_{j}(ρ(k_{θ_{1}}, k_{θ_{2}}, 1)(v)_{11} & | \\ |P (v)| & 1/2 \end{matrix})^{−λ_{j}} dθ_{1} dθ_{2}

となる. また, i = 1 のときは, ψ_{λ_{j}}(\overline{q_{j}(v)}) を

ψ_{λ_{j}}^{+}(\overline{q_{j}(v)}) + ψ_{λ_{j}}^{−}(\overline{q_{j}(v)})

で, c_{0} を c_{1} で置き換えれば, まったく同様の結果になる. これより補題は, Ξ_{i} の定義から直ちに従う.

この補題の Ξ_{i}(f; μ_{1}, μ_{2}; s) は正則概均質ベクトル空間 (BSL_{2} × BSL_{2} × GL_{2}, ρ, M_{2} ⊕ M) の局所ゼータ関数であるから、関数等式が成り立つ. したがって, 我々の球関数付き局所ゼータ関数も関数等式を満たすのである. （まったく同様のことが、 §II.4 の末尾で述べた一般の対称空間ケースで成り立っている.）関数等式の具体形は次のようになる.

定理 Γ(λ_{1}, λ_{2}; s) を Γ(λ_{1}, λ_{2}; s)

= 2^{−2}π^{−4s+2}Γ (s + \frac{λ_{1} + λ_{2}}{2} − 1) Γ (s + \frac{λ_{1} − λ_{2} − 1}{2}) Γ (s + \frac{λ_{2} − λ_{1} − 1}{2}) Γ (s − \frac{λ_{1} + λ_{2}}{2} )

× ( \begin{matrix}γ_{++}(λ_{1}, λ_{2}; s) & γ_{+−}(λ_{1}, λ_{2}; s) \\ γ_{−+}(λ_{1}, λ_{2}; s) & γ_{−−}(λ_{1}, λ_{2}; s) \end{matrix} ) ,

γ_{++}(λ_{1}, λ_{2}; s) = sin 2πs + sin πλ_{1} + sin πλ_{2}

γ_{+−}(λ_{1}, λ_{2}; s) = \frac{2π}{Γ(1 − λ_{1})Γ(1 − λ_{2})}

× \{sin π (s − \frac{λ_{1} + λ_{2}}{2} ) + sin π (s + \frac{λ_{1} − λ_{2}}{2} ) + sin π (s + \frac{λ_{2} − λ_{1}}{2} ) + sin π (s + \frac{λ_{1} + λ_{2}}{2} )\}

γ_{−+}(λ_{1}, λ_{2}; s) = \frac{Γ(1 − λ_{1})Γ(1 − λ_{2})}{2π}

× \{− sin π (s − \frac{λ_{1} + λ_{2}}{2} ) + sin π (s + \frac{λ_{1} − λ_{2}}{2} ) + sin π (s + \frac{λ_{2} − λ_{1}}{2} ) − sin π (s + \frac{λ_{1} + λ_{2}}{2} )\}

γ_{−−}(λ_{1}, λ_{2}; s) = − sin 2πs + sin πλ_{1} + sin πλ_{2}. によって定義する. このとき, 任意の f ∈ S(V(ℝ)) に対して, 次の関数等式が成り立つ:

( \begin{matrix}Φ_{0} \\ Φ_{1} \end{matrix} ) (f̂; λ_{1}, λ_{2}; s) = Γ(λ_{1}, λ_{2}; s) ( \begin{matrix}Φ_{0} \\ Φ_{1} \end{matrix} ) (f; λ_{1}, λ_{2}; 2 − s) .

局所関数等式とゼータ積分の関数等式から, 標準的な方法で次の結果が得られる. 定理ゼータ関数 ζ_{±}(ϕ_{1}, ϕ_{2}; s) を

ζ_{+}(ϕ_{1}, ϕ_{2}; s) = πζ(2s − 1)D_{+} (ϕ_{1}, ϕ_{2}; s − \frac{3}{2}) ,
ζ_{−}(ϕ_{1}, ϕ_{2}; s) = \frac{Γ(1 − \frac{λ_{1}}{2} )^{2}Γ(1 − \frac{λ_{2}}{2} )^{2}}{2^{λ_{1}+λ_{2}−1}π} · ζ(2s − 1)D_{−} (ϕ_{1}, ϕ_{2}; s − \frac{3}{2})

と定義すると, これらは s の有理型関数として ℂ 上に解析接続され, 次の関数等式を満たす:

( \begin{matrix}ζ_{+} \\ ζ_{−} \end{matrix} ) (ϕ_{1}, ϕ_{2}; 2 − s) = ^{t}Γ(λ_{1}, λ_{2}; s) ( \begin{matrix}ζ_{+} \\ ζ_{−} \end{matrix} ) (ϕ_{1}, ϕ_{2}; s) .

参考文献

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