1992 年現代数学史研究会

概均質ベクトル空間の源泉を探る

佐藤文広 (立教大学・理学部)

§0 はじめに

概均質ベクトル空間の理論は 1961 年頃佐藤幹夫氏により創められ, 以来 30 年を経過したが, 研究者が増加し広く研究が進められるようになったのは, 新谷卓郎氏が佐藤幹夫氏の講義を整理・充実させたノート [MS] を発表した 1970 年前後からである. その時期以後の研究の発展は, いまだ歴史として語る程には熟していないように思われる. そこで本稿では, 概均質ベクトル空間の理論がねらいとしたものがどのような背景を持っているのかを, その誕生の前後の数学の状況の中で解説したいと思う.

もとより筆者自身の知識はきわめて限られているので, かなり不満足なものとならざるを得ないが, 試論として受け取っていただければ幸いである.

§1 概均質ベクトル空間

1.1 定義

まず概均質ベクトル空間とはどんなものか, 説明しておこう. 次のように考えれば分かりやすい:

概均質ベクトル空間= { 概+ 均質空間} + ベクトル空間.

均質空間は “Homogeneous space” のつもりで, (等質空間という方が適当であろうが,) 群が推移的に作用している空間のことである. ここでは, もちろんベクトル空間への作用を考え, 群は線型代数群とする. すなわち, n 行 n 列の非退化正方行列のなす乗法群 GL(n) の代数的な部分群 G とその n 次元ベクトル空間 V = ℂ^{n} への自然な作用を考える. V を G の作用の下で軌道分解をすると, {0} はつねに 1 つの軌道となっているから, V は “均質空間”ではありえない. そこで少し譲歩して, 「ほとんど均質である」 = 「概均質」ということを, 低次元の代数的集合を除いてやると均質である, すなわち,

代数的真部分集合 S ⊂ V の補集合 V − S が G の単一の軌道となっていること

と定義する. この条件が満たされるとき (G, V) は\underline{概均質ベクトル空間}といわれる. また S を\underline{特異点集合} という.

概均質ベクトル空間の例については, 10 頁の表に典型的なものを挙げた. さらなる例については, 概均質ベクトル空間の分類を扱った [SK], [KK] などを参照されたい.

1.2 基本的な結果 (cf. [MS], [SS])

では概均質性からどのようなことが出て来るのであろうか?

1. (相対) 不変式が特異点集合 S を見ることで決定できる: (G, V) に対し, ベクトル空間 V 上の有理関

数 P (x) ≠ 0 は,

P (g · x) = χ(g)P (x) (g ∈ G, x ∈ V)

を満たすとき “相対不変式”と言われる. (G, V) の相対不変式は, S に含まれる既約超曲面の定義多項式の巾積で尽くされる. これから不変式論, 代数群の有限次元有理表現の理論への応用が出て来る.

簡単のため, 以下では, G は reductive (適当な座標変換の下で g ↦ ^{t}g^{−1} で閉じている) とし, S は絶対既約超曲面とする. V^{∗} を V の双対空間とすると, G は V^{∗} に自然に作用する (反傾表現). いまの仮定の下で (G, V^{∗}) も概均質ベクトル空間で, その特異点集合 S^{∗} はやはり絶対既約超曲面になる. P (x), P^{∗}(y) を, それぞれ S, S^{∗} の定義多項式とする.

2. b-関数 : 次の等式を満たす s の多項式 b(s) が存在する.

P^{∗}(grad_{x})P (x)^{s} = b(s)P (x)^{s−1}.

この b(s) を b-関数という. b-関数は, ゼータ関数・局所ゼータ関数の極の位置, 関数等式に現われるガンマ因子の形を統制する.

3. 相対不変式の複素巾の Fourier 変換: 開軌道の実点の集合 V_{ℝ} − S_{ℝ}, V_{ℝ}^{∗} − S_{ℝ}^{∗} は

V_{ℝ} − S_{ℝ} = V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{ν}, V_{ℝ}^{∗} − S_{ℝ}^{∗} = V_{1}^{∗} ∪ ⋯ ∪ V_{ν}^{∗}

と同数の連結成分に分解される. Re(s) > 0 のとき, 1 ≤ i ≤ ν に対し,

|P (x)|_{i}^{s} = \{ \begin{matrix}|P (x)|^{s} & if x ∈ V_{i} \\ 0 & otherwise \end{matrix} , |P^{∗}(y)|_{i}^{s} = \{ \begin{matrix}|P^{∗}(y)|^{s} & if y ∈ V_{i}^{∗} \\ 0 & otherwise \end{matrix}

とおく. b-関数を

b(s) = b_{0} ∏_{i=1}^{d}(s + α_{i})

と因数分解し

γ(s) = ∏_{i=1}^{d} Γ(s + α_{i} + 1)

とおくと, \frac{1}{γ(s)} |P (x)|_{i}^{s}, \frac{1}{γ(s)} |P^{∗}(y)|_{i}^{s} は, s について ℂ 上に正則に解析接続され, それぞれ, V_{ℝ}, V_{ℝ}^{∗} 上の緩増加超関数を定める. このとき, で Fourier 変換を表わせば

ˆ|P |_{i}^{s} = γ(s) ∑_{j=1}^{ν} u_{ij}(s) |P^{∗}|_{j}^{− \frac{n}{d} −s}

が成り立つ. ここで n = dim V, d = deg P, また u_{ij}(s) は指数関数による簡単な表示を持つ有理型関数.

4. (若干の付加的条件の下で) ゼータ関数が定義され, 関数等式が証明される : 1 ≤ i ≤ ν に対し, ゼータ

関数は

ξ_{i}(s) = ∑_{x∈Γ\(V_{ℤ}∩V_{i})} \frac{μ(x)}{|P (x)|^{s}}

によって定義される. ここで, Γ は G_{ℤ} と実リー群 G_{ℝ} の単位元連結成分との共通部分, μ(x) は “density” と呼ばれる Γ · x の大きさを反映した量である. 同様に (G, V^{∗}) のゼータ関数 ξ_{i}^{∗}(s) も定義できる. このとき, b(s − \frac{n}{d})ξ_{i}(s), b(s − \frac{n}{d})ξ_{i}^{∗}(s) は整関数に解析接続され, 相対不変式の複素巾の Fourier 変換の公式を用いて, ゼータ関数の関数等式

ξ_{i}^{∗}(\frac{n}{d} − s) = γ(s − \frac{n}{d})∑_{j=1}^{ν}u_{ji}(s − \frac{n}{d})ξ_{j}(s) (1 ≤ i ≤ ν)

が証明される.

§2 概均質ベクトル空間の誕生, その背景

2.1 創始者の証言

概均質ベクトル空間の理論の誕生については, この概念を導入し理論の骨格を洞察した佐藤幹夫氏自身の証言があるので, まずそれを紹介するのが適当であろう.

「さて, 線型偏微分方程式のことですが, 古典的なラプラス方程式や波動方程式の場合に著しいことは, 基本解が初等関数で explicit に書けることです. そこで, 線型方程式の一般理論を探るための実験台という意味でも, これら 2 次形式型の微分作用素のほかに, もっと高次の微分作用素でしかもこのような良い性質のものが見付けられないだろうか, 出来ることならそのようなもの, 即ち斉次多項式で与えられる定数係数の微分作用素のうち, 基本解が再び何らかの斉次多項式を用いて, その分数ベキや log の形で表わされるようなもの, の一般的範疇を決められないだろうか, と思いました. 1960 年の暮れか, 61 年初めと思います.

2 次形式の場合はじめの operator を P (D) とすれば, 基本解は x の 2 次形式 Q(x) の分数ベキ (叉は log) で, この P と Q は互いに双対的な 2 次形式です. このことは, 射影幾何の言葉で言えば, 2 次超曲面の dual 即ち 2 級超曲面が, 再び 2 次超曲面であるという事実に他なりません. ところが, 3 次以上の超曲面については仲々うまく行かないのです. 例えば 3 元 3 次形式を考えて, その中で最も specialize された場合として cusp のある有理曲線に対応する P (x) = x_{1}^{3} + x_{2}^{2}x_{3} を取ってきた場合でさえ, 事情はそんなによくなりません. この場合, 曲線 P (x) = 0 を, dual space に移してやると, y_{1} : y_{2} : y_{3} = 3x_{1}^{2} : 2x_{2}x_{3} : x_{2}^{2} ですから, Q(y) ≡ 4y_{1}^{3} − 27y_{2}^{3}y_{3} = 0 となり, たしかに再び同種の 3 次曲線が得られるところまではうまく行っているのですが, しかし Q(y) を x で書き表したものは

108(x_{1}^{3} + x_{2}^{3}x_{3}) · (x_{1}^{3} − x_{2}^{2}x_{3})

となって, P (x) を因子にもっているけれども, 他の因子も入りこんで来て P (x) だけのベキにはなりません.

そんなわけで, はじめはただ代数的或は射影幾何的に考えていて仲々らちがあかず, 暗中模索を続けて徒に日を重ねていたのですが, 半年位してやっと, 2 次形式の場合の P と Q との完全な双対性の根拠が, 一般直交群 GO(n) のもとでの相対不変性にあることに気付き, “概均質ベクトル空間” の概念にゆきついたのです. それからあとは, フーリエ変換やゼータ関数への応用もすぐに出来上り, その 61 年の秋に, プリンストン滞在中の J.P.Serre 氏のセミナリーで皆さんにきいてもらいました. 」 ( 「数学の歩み」佐藤幹夫特集号 1970, pp.4 – 5)

ここで, 基本解について復習する. 定数係数線型偏微分方程式 p(D)u = f の基本解とは, 方程式 p(D)u = δ (δ はデルタ関数) の解のことである. 大ざっぱには, 基本解 E が求まれば p(D)u = f の解は convolution を用いて u = E ∗ f として得られると考えられる. p(D)E = δ を形式的に Fourier 変換すると p(ξ)Ê = 1 であるから, 基本解の構成とは 1/p(ξ) の逆 Fourier 変換を超関数として意味付けるという問題になることを確認しておこう.

2.2 Gelfand の問題

我々は, 概均質ベクトル空間の理論の誕生をそれに先立つ 1950 年代の解析学の文脈の中に位置づけてみたい.

まず I.M.Gelfand の 1954 年アムステルダム国際数学者会議での講演から見てみる. この講演で Gelfand は超関数 (generalized functions) の理論の立場から群の表現論, 偏微分方程式論を始めとする主として今世紀の物理学の発展にその起源を持つ解析学の現状と問題について語っている. 我々の当面の主題と関係して Gelfand は, 第 3 節 “Generalized functions” の末尾で次のような問題を提出している.

I. Let P (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) be a polynomial. Consider the area in which P > 0. Let ϕ(x_{1}, …, x_{n}) be an infinitely many differentiable function equal to zero outside a certain finite area. We shall examine the functional

(P^{λ}.ϕ) = ∫_{P >0} P^{λ}(x_{1}, …, x_{n})ϕ(x_{1}, …, x_{n})dx_{1} ⋯ dx_{n}.

It is necessary to prove that this is a meromorphic function of λ (it would be natural to call it a \underline{ζ-function} of the given polynomial), whose poles are located in points forming several arithmetic progressions, as well as to calculate the residues of this function.

II. The second problem may be stated as follows: What should one understand by a rational function (as a generalized function) and how might one find its Fourier transform? We shall consider a rational function as a functional on Z^{1}, i.e. we shall understand the value of this functional to be an integral along some surface parallel at infinity to the real subspace of Z^{1} (different surfaces produce different functionals). The Fourier transform of such a functional is the functional on K (a space of finite functions), dual with respect to Z^{1}. The general case of these Fourier transforms has been studied little. For the special case where the denominator of the rational function is a polynomial of the so called hyperbolic type, they were investigated, in connection with hyperbollic differential equations, by Herglotz [22], Petrovski [69], Garding [23] and Leray [24]. In connection with elliptic equations Fourier transforms of rational functions with “elliptic” denominators were studied by Shapiro [25], Lopatinski [26] and Bochner [27].

これら 2 つの問題こそ概均質ベクトル空間の理論により, (概均質ベクトル空間の相対不変式という限られたクラスの多項式に対してではあるが) 見事な解答が与えられたところのものである. 第 2 の問題が, 佐藤幹夫氏にとって概均質ベクトル空間の概念へ導かれる動機付けとなった定数係数偏微分作用素の基本解の構成と関連するものである. 第 1 の問題は, 後に S.I.Gelfand & I.N.Bernstein, M.F.Atiyah により特異点解消の理論を用いて, また次いで I.N.Bernstein の Holonomic な Weyl 代数-加群の理論により一般的に解決され, 今日の代数解析の隆盛の源の一つとなったものである.

2.3 Siegel の積分と概均質ベクトル空間

概均質ベクトル空間の理論の直接の動機であった定数係数偏微分作用素の基本解の構成の問題について, もう少し調べてみよう. ここでは, 上で引用した Gelfand の講演で触れられている L.Gårding の論文 “Linear hyperbolic partial differential equations with constant coefficients,” Acta Math. 85(1950), 1–62 を取り上げよう.

Gårding は, この論文の中で, 双曲型多項式の複素領域における Fourier 変換を基本解の構成に利用した. そして, 我々の関心である基本解 (より一般に Riesz 核) の具体的計算が実行できる例として, 符号 (1, n − 1) の 2 次形式, エルミート行列の行列式の 2 つをあげている. Gårding に与えられている公式は, これらの多項式の複素巾の (正値な cone 上への制限の) Fourier 変換の公式に他ならない.

このような explicit な公式が得られる根拠は, いわゆる Siegel の積分が通常の Γ-関数を用いた表示を持つところにある. Siegel 積分とは, n 次正定値対称行列の空間 P_{n} 上でとられた次の積分である:

∫_{P_{n}}(det X)^{s− \frac{n−1}{2}} e^{−tr(XY)} dX = (det Y)^{−s} ∏_{i=1}^{n} π^{(i−1)/2} Γ (s − \frac{i−1}{2}) .

この積分は, n = 1 のときは通常の Γ 関数の積分表示式に帰着し, P_{n} の Γ 関数と呼ばれる. これは, いわば (det X)^{s} の Laplace 変換であり, Y を虚軸\sqrt{−1}Sym_{n}(ℝ) へと解析接続することで (det X)^{s}|_{P_{n}} の Fourier 変換の計算に直接結びつく.

Siegel は, P_{n} の Γ 積分を “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen”(1935) で導入した. さらに Siegel は, “The volume of the fundamental domain for some infinite groups”(1936) で正定値エルミート行列の空間に対し, また “Über die Zetafunktionen indefiniter quadratischer Formen”(1938) で光円錐の内部 {x ∈ ℝ^{n} | x_{1} > 0, x_{1}^{2} − x_{2}^{2} − ⋯ − x_{n}^{2} > 0} に対し Γ 関数を導入し 2 次形式の数論に用いた. Gårding の例は, この 2 つの Siegel 積分 (Γ 関数) によって計算できる.

ここで P_{n} の Γ 関数は, Siegel より早く J.Wishart, “The generalized product moment distribution in samples from a normal multiplicative population,” Biometrika 20(1928), 32–43 において考えられていたことを注意しておく. また A.Selberg, “Harmonic analysis and discontinuous groups on weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series,” J. Indian Math. Soc. 20(1956), 47–87 では Siegel の積分を Borel 部分群の相対不変式の (多変数) 複素巾に拡張している.

さて, 問題は, このような現象の背後に潜むものをどのような視点で捉えるか, ということである.

当時, 最も有力であった視点は, この現象を等質 (自己共役) cone と結びつけて理解するというものであったと思われる. それは, Siegel の多変数保型形式の理論を拡張・整理する試みとも関連していた. 例えば, M.Koecher, “Positivitätsbereiche im ℝ^{n},” Amer. J. Math. 79(1957), 575–596, S.G.Gindikin, Analysis in homogeneous domains, Russian Math. Survey, 19(1964), 1–89 などを見よ. この見方は, 正定値な空間 (コンパクト群による商空間), とくに対称領域に関心を寄せた見方だと言えよう.

佐藤幹夫氏による概均質ベクトル空間の理論は, 同じ現象の背景を多項式の “十分大きな線型群の作用の下での不変性”と, ある意味でより素朴に捉えることで, 正定値性に縛られぬ広い枠組みを与えたと言うこともできる. Siegel 積分のようなものは, 不定値の場合には一般に計算困難であるが (Siegel は, 前出の不定値 2 次形式のゼータ関数の研究の際に, このことをはっきり意識していたと思う), 一方, 相対不変式の複素巾の Fourier 変換は計算できる例が多く存在することに注意しておこう.

以上のように見てくると, 1950 年代の解析学の中には概均質ベクトル空間に至る十分な動機が, 群論的契機も含めて存在していたことがわかる. しかし, 同時に Gårding の論文の双曲型方程式の基本解の議論と §2.1 の佐藤幹夫氏の証言を読み比べて受ける印象もここに書き留めておきたい. それは, 概均質ベクトル空間の概念が結晶するに至るには, 定性的な一般的主張を追求するという立場ではなく, 多少限定されたクラスであっても

explicit な結果の出る深い内容を持った数学的対象を取り出す

という志向が必要だったということである.

§3 ゼータ関数

3.1 Riemann による関数等式の証明と概均質ベクトル空間

有名な論文 “Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe” (1859) において, Riemann は, 今日 Riemann zeta 関数と呼ばれることとなった

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

の解析接続と関数等式を 2 通りの方法で証明を与えた.

その第 1 は, zeta 関数の複素積分表示, すなわち

2 sin πs Π(s − 1)ζ(s) = i ∫_{∞}^{∞} \frac{(−x)^{s−1} dx}{e^{x} − 1}, Π(s) = Γ(s + 1) : Gamma 関数

に基づくものである. ここで, 積分路は「0 は含むが積分記号内の関数の 0 以外の不連続点をその内部に含まないような領域の周囲を正の向きに +∞ から +∞ まで動くものとする」のである. この表示により, ζ(s) は, すべての複素数 s に対してその値が定義され, s = 1 で 1 位の極をもつ他, 至るところ正則で, s の負の偶数値で零点を持つことが直ちに分かる. 関数等式

π^{−s/2}Π(\frac{s}{2} − 1)ζ(s) = π^{−(1−s)/2}Π(\frac{1−s}{2} − 1)ζ(1 − s)

は, 上の積分を積分路の外部を負の向きに回るものと解釈したものと等値することにより得られる.

ついで Riemann は, 関数等式のこの形に示唆されて, 解析接続と関数等式を一目で見ることができる次の積分表示を見いだしたという.

π^{−s/2}Π(\frac{s}{2} − 1)ζ(s) = ∫_{0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} e^{−n^{2}πx} x^{\frac{s}{2} −1} dx
= \frac{1}{s(s − 1)} + ∫_{1}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} e^{−n^{2}πx} (x^{\frac{s}{2} −1} + x^{− \frac{1+s}{2}} ) dx.

ここで, 第 1 行から第 2 行への変形は Jacobi による Theta 公式 (虚数変換) (Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, 1829)

2ψ(x) + 1 = x^{− \frac{1}{2}} (2ψ (\frac{1}{x}) + 1) , ψ(x) = ∑_{n=1}^{∞} e^{−n^{2}πx}

を利用している.

概均質ベクトル空間の zeta 関数の理論が目的としたことは, Theta 公式に基づく Riemann の第 2 証明の根拠を明確にし, “究極的”な一般化を行なうことであった. ここで, 第 2 証明の根拠を明確にしたというのは, 次のような意味である.

[Riemann の第 2 証明]  [概均質ベクトル空間の zeta 関数]

Γ-積分 + Theta 公式

⟶

|x|^{s} の Fourier 変換

+ Poisson 和公式

⟶

|P (x)|^{s} の Fourier 変換

+ Poisson 和公式

ここで, よく知られているように, Jacobi の Theta 公式が Poisson の和公式に他ならないことに注意する.

いま述べた「Theta 公式に基づく Riemann の第 2 証明の根拠を明確にし, “究極的”な一般化を行なうこと」というのは, 概均質ベクトル空間の理論の専売特許ではない. zeta 関数を保型形式の L 関数とみなして一般化する Hecke の理論についても同様の主張が可能であることは, もちろんである. 保型 L 関数という方向の拡張と概均質ベクトル空間の zeta 関数という方向の拡張とは, その関係について論ずべきことは多いが, 一応 90 度 (180 度でなく) 違った方向を向いた拡張と考えておこう.

3.2 Eisenstein による関数等式の証明と概均質ベクトル空間

A.Weil は, Gießen 大学の図書館で発見された Eisenstein の所有になる Gauß “Disquisitiones” のフランス語版を調査し, そこに挿入されたノートの中から, mod. 4 の指標に対応する Dirichlet L 関数

L(s) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}(2n + 1)^{−s} = 1 − 3^{−s} + 5^{−s} − 7^{−s} − ⋯

の 0 < s < 1 の範囲での関数等式の証明を発見した.^{1} このノートには, 1849 年 4 月 7 日の日付がある. 1849 年は, O. Schlömilch, C.J. Malmstén によって L 関数の関数等式の証明が発表された年であり, Eisenstein はこの結果を自らのものとは主張していないので, Eisenstein はこれらの仕事から関数等式を知った, もしくは Euler から直接知ったのではないか, というのが Weil の想像である. さらに興味深いことは, Eisenstein と Riemann の関係から Eisenstein の証明が Riemann の論文 “Über die Anzahl … ” に影響を与えている可能性があることである.

しかしながら, 我々の当面の関心事はこのことではなく, Weil も Eisenstein の original な寄与だと評価しているその証明である. それほどの長文ではないので, Weil による該当部分の英訳 (原文はドイツ語) をそのまま掲げることにする.

***

According to Dirichlet, page 9, one has

∫_{0}^{∞} e^{σψi}ψ^{q−1} dψ = \frac{Γ(q)}{(±σ)^{q}} e^{±qπi/2} (1)

where 0 < q < 1 and the upper or lower sign is valid according as σ is positive or negative. From this, when α is between 0 and 2π, so that α + 2σπ is positive for σ = 0, 1, 2, …, and negative for σ = −1, −2, …, one gets

∑_{σ=−∞}^{σ=+∞} ∫_{0}^{∞} e^{(α+2σπ)ψi}f(σ)ψ^{q−1}dψ = ∑_{σ=−∞}^{σ=+∞} ∫_{0}^{∞} f(σ)e^{αψi}ψ^{q−1}dψ e^{2σπiψ}

= Γ(q)e^{+(qπi/2)} ∑_{σ=0}^{σ=+∞} \frac{f(σ)}{(α + 2πσ)^{q}} + Γ(q)e^{−(qπi/2)} ∑_{σ=1}^{σ=+∞} \frac{f(−σ)}{(2πσ − α)^{q}} . (2)

If e.g. f(σ) = (−1)^{σ}, one has

∑_{σ=−k}^{σ=k}(−1)^{σ}e^{2σπiψ} = 1 − e^{2πiψ} + e^{4πiψ} ⋯ + (−1)^{k}e^{2kπiψ}
−e^{−2πiψ} + e^{−4πiψ} ⋯ + (−1)^{k}e^{−2kπiψ} = etc.

Generally take f(σ) = e^{2βπiσ}, where β is to be taken real and < 1 (and > 0)

e^{(α+2σπ)ψi}f(σ) = e^{αψi}e^{2πiσ(ψ+β)},

here, putting ψ + β = φ, one has ψ = φ − β, and φ goes from β to ∞, so that one has to calculate

(2)′  ∑_{σ=−∞}^{σ=+∞} ∫_{β}^{∞} e^{α(φ−β)i}(φ − β)^{q−1}e^{2πiσφ}dφ,

which, for 0 < β < 1, is

= \frac{e^{α(1−β)i}}{(1 − β)^{1−q}} + \frac{e^{α(2−β)i}}{(2 − β)^{1−q}} + \frac{e^{α(3−β)i}}{(3 − β)^{1−q}} ⋯ = e^{−αβi} ∑_{σ=1}^{σ=∞} \frac{e^{ασi}}{(σ − β)^{1−q}} . (3)

1 A.Weil, On Eisenstein’s copy of the Disquisitiones, Adv. Studies in pure Math. 17, Algebraic Number Theory – in honor of K.Iwasawa, 1989, pp. 463–469.

Replacing α by 2πα on both sides, one has therefore

e^{−αβ·2πi} ∑_{σ=1}^{σ=∞} \frac{e^{σα·2πi}}{(σ − β)^{1−q}} (4)

= \frac{Γ(q)}{(2π)^{q}} e^{(qπ/2)i} ∑_{σ=0}^{σ=∞} \frac{e^{σβ·2πi}}{(σ + α)^{q}} + \frac{Γ(q)}{(2π)^{q}} e^{(−qπ/2)i} ∑_{σ=0}^{σ=∞} \frac{e^{σβ·2πi}}{(σ − α)^{q}}

where α and β are bath positive and < 1; so is q. here one can also, instead of β, write −β, but the summation must then begin with σ = 0 instead of σ = 1. For α = \frac{1}{2}, one gets the simpler formulas

e^{−βπi} ∑_{σ=1}^{σ=∞} \frac{(−1)^{σ}}{(σ − β)^{1−q}} = \frac{Γ(q)}{(2π)^{q}} [e^{(qπ/2)i} + e^{2βπi−(qπ/2)i}] ∑_{σ=0}^{σ=∞} \frac{e^{σβ·2πi}}{(σ + \frac{1}{2})^{q}} ,

e^{βπi} ∑_{σ=0}^{σ=∞} \frac{(−1)^{σ}}{(σ + β)^{1−q}} = \frac{Γ(q)}{(2π)^{q}} [e^{(qπ/2)i} + e^{−2βπi−(qπ/2)i}] ∑_{σ=0}^{σ=∞} \frac{e^{−σβ·2πi}}{(σ + \frac{1}{2})^{q}} .

If also β = \frac{1}{2},

1 − \frac{1}{3^{1−q}} + \frac{1}{5^{1−q}} − \frac{1}{7^{1−q}} + ⋯

= \frac{2^{q}Γ(q)}{π^{q}} sin \frac{qπ}{2} [1 − \frac{1}{3^{q}} + \frac{1}{5^{q}} − \frac{1}{7^{q}} + ⋯] .

If here one replaces q by 1 − q and takes the product of both formulas, one obtains

Γ(q)Γ(1 − q) = \frac{π}{sin qπ} .

***

このように Eisenstein は, 今日, 我々が Hurwitz-Lerch の zeta 関数と呼んでいるものの関数等式 (4) を示し, その特殊化として L 関数の関数等式を導いたのである. 彼の方法の基礎となる (1) 式であるが, これは (超) 関数

|x|_{+}^{q} = \{ \begin{matrix}|x|^{q} & x > 0 \\ 0 & otherwise \end{matrix}

の Fourier 変換の公式に他ならない. この公式を Eisenstein は,

G.L.Dirichlet, Über eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale, 1839, Werke, Bd.I, pp. 391–410

より引用しているが, Dirichlet 自身は, それを Euler の発見とし, 証明は Poisson に帰している. Euler の行なったことは, n ∈ ℕ に対して

∫_{0}^{∞} y^{n−1}e^{−(p+qi)y} dy = \frac{Γ(n)}{(p + qi)^{n}} (p > 0)

を示したことである (L.Euler, Opera Omnia, Series Prima, vol. 19, p.221). これからみると, Riemann zeta 関数の関数等式が Euler によっていると主張するのと同じような意味合いで

概均質ベクトル空間の基本定理である相対不変式の複素巾の Fourier 変換の公式の最初の発見者は Euler であると言って良いのかもしれない.

Eisenstein は, |x|_{+}^{q} の Fourier 変換の公式を, 関数

Φ_{α,β}(x) = \{ \begin{matrix}e^{α(x−β)i}(x − β)^{q−1} & (x > β) \\ 0 & (x < β) \end{matrix}

に対する Poisson 和公式 ((2) と (3) の等値) と組み合わせて, zeta 関数の関数等式を証明する. この議論は, あたかも「概均質ベクトル空間の理論」 , 数学の歩み (佐藤幹夫特集号) における概均質ベクトル空間に付随する超関数値 Hurwitz-Lerch zeta 関数の関数等式の証明を読んでいるかのような気持ちにさせる. 概均質ベクトル空間の理論は, Eisenstein による関数等式の証明を忠実に発展させたものなのである. Riemann の第 2 証明では, |x|^{s} の Fourier 変換という見方が Γ-関数の定義の中に吸収されてしまって見えにくくなっている. しかし, Γ-積分の中に |x|_{+}^{s} の Fourier 変換が伏在していることは, すでに §2.3 で論じた通りである.

3.3 Theta 公式に基づいて関数等式が証明される zeta 関数たち

Riemann の論文以後, 1960 年代の概均質ベクトル空間の理論の登場までのほぼ 100 年の間に, Riemann による関数等式の第 2 証明は, 数多くの zeta 関数に対して適用された. それらは, 概均質ベクトル空間の zeta 関数の一般論^{2} が構成された結果, その具体例として吸収されることとなった. 次頁の表は, そのような zeta 関数と対応する概均質ベクトル空間のリスト (完璧を期したものではないが) を与える.

最近の発展について付言しておくと, 次頁の表の “Generalization” の項のゼータ関数・ L 関数は従来の一般論には含まれていなかったが, ? の欄も含め [S2], [S3] で一般論の具体例として論ずる事ができるようになった.

***

題材を概均質ベクトル空間の prehistory に限ったため, 故新谷卓郎氏の寄与についても, また柏原・木村・行者・室・井草・ Rubenthaler ・ Wright ・雪江などの諸氏の研究についても, いささかも触れるところがなかったことをお詫びします.

参考文献

[KKY] T.Kimura, S.Kasai and O.Yasukura: A classification of the representations of reductive algebraic groups which admit only a finite number of orbits, Amer. J. Math. 108(1986), 643–692.

[S1] F.Sato: Zeta functions in several variables associated with prehomogeneous vector spaces I, Tôhoku Math. J. 34(1982), 437–483.

[S2] F.Sato: Zeta functions with polynomial coefficients associated with prehomogeneous vector spaces. Preprint, 1989.

[S3] F.Sato: Zeta functions of prehomogeneous vector spaces with coefficients related to periods of automorphic forms. in preparation.

[MS] 佐藤幹夫: 概均質ベクトル空間の理論. 数学の歩み 15(1970), 85–157.

2 [SS],[S1] 参照

[SK] M.Sato and T.Kimura, A classification of irreducible prehomogeneous vector spaces and their invariants, Nagoya Math. J. 65(1977), 1–155.

[SS] M.Sato and T.Shintani: On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces, Ann. of Math. 100(1974), 131–170.

Examples of Prehomogeneous Vector Spaces and Associated Zeta Functions

p.v.  Relative Invariant  Zeta functions  Generalization
(GL(1), M(1))/ℚ  P (x) = x  Riemann^{1}

Hecke L functions with Größencharacters^{2}

\begin{matrix}R_{K/ℚ}(GL(1), M(1)) \\ [K : ℚ] < ∞ \end{matrix}  P (x) = N_{K/ℚ}(x)  Dedekind^{3}

(GL(1) × SO(n), V (n))

P (x) = a quadratic form Epstein^{4} (positive definite)

Epstein zeta fct.

with harmonic polynomials^{4}

Siegel^{5} (indefinite)

Maaß^{6} , Hejhal^{7}

(A^{×}, A) A:simple algebra P (x) =

the reduced norm

Hey^{8} Godement-Jacquet^{9}

(SO(m) × GL(n), M(m, n))  det^{t}xx  Koecher^{10}  Maaß^{11}

(SO(m) × B(n)), M(m, n)), B(n) = a Borel

subgroup of GL(n) d_{i}(^{t}xx) (i = 1, …, n) d_{i} = the i-th

principal minor Eisenstein series of SL_{m}(ℤ)

Eisenstein series

of SL_{m}(ℤ)

with representation of SO(m)

(GL(n), Sym(n))  det x  Shintani^{12}  ?

1 B.Riemann, 1859.

2 E.Hecke, Math.Z. 1(1918), 6(1920).

3 R.Dedekind, 1877.

4 P.Epstein, Math. Ann. 56(1903), 63(1907).

5 C.L.Siegel, Math. Z. 43(1938), 44(1939).

6 H.Maaß, Math. Ann. 138(1959).

7 D.Hejhal, Proc. Acad. Japan 58(1982).

8 K. Hey, 1929.

9 R.Godement and H.Jacquet, Lect. Notes in Math. vol. 260, 1972.

10 M.Koecher, J. reine angew. Math. 192(1953).

11 H.Maaß, J. Indian Math. Soc. 20(1956), Math. Ann. 134(1957), Lect. Notes in Math. vol. 216, 1971.

12 T.Shintani, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 22(1975).