線形数学 II 小テスト (No. 2)

1998 年 12 月 9 日

数理・情報科学科佐藤信哉

1 (2 点 ×3)

V = \{X ∈ M_{2}(ℝ)|Tr(X) = 0\} とする． 2 次正則行列 A = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) に対

し，写像 f を f(X) = AXA^{−1}と定める．この時，以下の問に答えよ.

(1) fは V の 1 次変換であることを示せ.

(2) E = \{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )\} および

F = \{( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & −1 \end{matrix} )\} は V の基底となる. Eを F

へ変換する行列を求めよ.

(3) fの基底 E, F に対する表現行列を求めよ. すなわち， fを (V, E) → (V, F) と見たときの表現行列を求めよ.

2 (1 点 ×4)

W_{1} = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) | x + y + z = 0\}, W_{2} = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) | 2x − y + 3z = 0\}とす

る．このとき，以下の問に答えよ.

(1) a a a = ( \begin{matrix}4 \\ −1 \\ −3 \end{matrix} )は W_{1} ∩ W_{2}の基底であることを示せ.

(2) a a aを延長して， W_{1}の基底を作れ.

(3) a a aを延長して， W_{2}の基底を作れ.

(4) W_{1} + W_{2}の基底を求めよ.