線形数学 I 中間試験

1998 年 5 月 27 日実施数理・情報科学科佐藤信哉

試験時間は 90 分で，自筆授業ノートおよび配布プリントのみ持ち込み可．（教科書，参考書などは持ち込み不可．）テストは 100 点満点で, この試験の結果は成績に加味される．成績は以下の式で算出される値 x を元にして決定される．

x = 0.7×{ 期末テストの点数 }+0.3×max { 中間テストの点数, 期末テストの点数 }

1 以下の行列の積を求めよ．

(1) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) (2) ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )^{2}

(3) ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} ) (4) ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}2 & 6 & 8 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} )

2 A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) とする．このとき， (I − A)^{−1} を求めよ．

3 以下の問いに答えよ．

(1) x, y を xy ≠ 1 満たす実数とする．このとき， (1−xy)^{−1} = 1+x(1−yx)^{−1}y となることを示せ． (2)X, Y を任意の n 次正方行列とする．このとき，以下を証明せよ．

I − XY が正則 ⟺ I − Y X が正則．

4 Trace に関する以下の問いに答えよ．

(1) A を任意の n 次正方行列とする．このとき， Tr(A^{∗}A) ≥ 0 を示せ．

(2) A, B を任意の n 次正方行列とする．但し， n ≥ 2 とする．このとき，次の命題が正しければ証明し，正しくなければ，反例を挙げよ．

Tr(AB) = Tr(A)Tr(B)．

裏面につづく

5 A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix} ) を 2 次対称行列とする．任意の 2 次正方行列 ( \begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix} )

は 4 次元数ベクトル( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} ) と思うことができる．同様に， A を 2 次正方行

列 X に左から掛けて得られる 2 次正方行列 AX も上のやり方で 4 次元数ベクトルと思うことができる． 4 次元数ベクトルとしての X に対して， 4 次元数ベクトルとしての AX を対応させる写像を f とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) f は 4 次元数ベクトル空間の線型変換であることを示せ．

(2) f の表現行列を求め，それが対称行列であることを示せ．

(3) A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) のとき， (2) と同様に表現行列を求めよ．