補足: 教科書の行列式の定義と授業の行列式の定義の関連について

1998 年 7 月 15 日

数理・情報科学科佐藤信哉

授業では，まず n = 1, 2, 3 の場合に n 次行列式を，連立 1 次方程式の解の存在条件を動機として，導入した. そして， 3 次（2 次）行列式は， 2 次（1 次）行列式を使って表せることを説明した. これを一般化して， n 次行列式を (n − 1) 次行列式を用いて表すという帰納的な定義を選んだ. 理由は，計算に適した定義と思えるからである．しかしながら，これは教科書の定義とは異なっている．両者の関係について説明するのが，この補足の目的である.

授業でやったように，行列式は以下の性質をみたす．

(1) ある列に他の列の定数倍を加えても，行列式は変わらない

(2) ある列を定数倍すると，その定数は外にくくり出せる

(3) 2 つの列の場所を交換すると，行列式の符号が変わる

(4) 単位行列の行列式は 1 である教科書では， n 次正方行列 A に対して，この (1) から (4) の性質を満たす

実数あるいは複素数に値をとる関数を A の行列式と定義している. ( 教科書では (1), (2) が D-1, (3) が D-2, (4) が D-3 と呼ばれている. ) そして，このような関数が確かに存在するということを教科書の後ろのほうで示すのである.

存在については，授業中に定義した行列式が上の性質を満たすわけだから，示せているわけである．これに関連して次の定理が成り立つ.

定理 n 次正方行列に対して，上の (1) から (4) の性質を満たす関数があれ ; ば，それはただ一つである. したがって，授業で定義したものが (1) から (4) ; の性質を満たすただ一つのものである. (証明.) 上の (1) から (4) を満たす実数あるいは複素数値関数を D とする．もう一つこれとは別に (1) から (4) を満たす関数 F があったとする．まず， D(A) = F (A) を A が正則な場合に示そう.

A は正則なので，基本変形をすれば，基本行列の積に表せる. 基本変形は 3 種類で，

(a) ある列に他の列の定数倍を加える

(b) ある列を定数 (≠ 0) 倍する

(c) 2 つの列を交換するというものであった． (a), (b) では，その定数が行列式の外に括り出せて， (c) では，符号が変わるので， D(A) は， 0 でない定数， (−1) を何回かかけたもの，そして D(I_{n}) といったものの積で表せることになる． F (A) も同様である. すなわち，

D(A) = αD(I_{n})
F (A) = αF (I_{n})

と表せることになる. ここで，両方とも同じ α が出ることに注意. 性質 (4) を使えば， D(I_{n}) = 1 = F (I_{n}) であるから， D(A) = F (A) が示せた.

次に， A が正則でないとすると，同様に基本変形をしていくと，第 n 列がゼロベクトルの行列 B になる．上と同様に，このとき， D(A) = αD(B) と表せる. 性質 (2) を定数が 0 の場合に使えば， D(B) = 0 である．よって， D(A) = 0. 同様に， F (A) = 0 であるので， D(A) = 0 = F (A)．以上で，定理が示せた. (証明終.)

(注) 教科書では，行列式の具体的な形を導くために，転倒数という言葉を使っている.

実際の計算で必要なのは，転倒数を使った表示による計算ではなく，行列式の展開であるので，授業では，これを定義として採用したが，行列式の別の定義の仕方はまだ他にもある．しかし，どの定義をしても上の (1) から (4) を満たすので，定理により，どれも値はみな同じになる．

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それでは，よい夏休みを.