線形数学 I 期末試験

1998 年 9 月 16 日実施数理・情報科学科佐藤信哉

試験時間は 90 分で，自筆授業ノートおよび配布プリントのみ持ち込み可． (ノートのコピーは不可. 教科書，参考書などは持ち込み不可．）答案には結果だけでなく, 途中の過程も書くこと. 結果のみの場合は大幅な減点とする. 特に，行列を基本変形する際には，どのような変形を施したか明記すること.

1 A は正方行列で, A = ( \begin{matrix}A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{matrix} ) と区分けされているとする. ただ

し, A_{11}, A_{22} は正方行列, O は零行列である. このとき, 以下の問に答えよ.

(1) A が正則であるための必要十分条件は, A_{11}, A_{22} がともに正則であることを示せ.

(2) A が正則であるとき, A^{−1} を A_{11}, A_{12}, A_{22} を用いて表せ.

2 次の連立 1 次方程式が解を持つときの a の値を求め，また，そのときの解を求めよ.

\{ \begin{matrix}−3x & + & y & + & z & + & w & = & a \\ x & − & 3y & + & z & + & w & = & −1 \\ x & + & y & − & 3z & + & w & = & 2 \\ x & + & y & + & z & − & 3w & = & 4 \end{matrix}

3 次の行列が逆行列を持つならば, それを求めよ.

(1) ( \begin{matrix}2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) (2) ( \begin{matrix}k & 1 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 0 & 1 & k \end{matrix} )

4 以下の問に答えよ.

(1) 次の行列の行列式を求めよ.

( \begin{matrix}−2 & −3 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 16 & −1 & 5 & 4 \\ 5 & 6 & 1 & −1 & 2 \\ 3 & 3 & −1 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 2 & 1 & 2 \end{matrix} )

裏面につづく

(2) 次の行列が正則でないときの a, b, c, d の値を求めよ. ただし, a, b, c, d は実数である.

( \begin{matrix}a & −b & −c & −d \\ b & a & −d & c \\ c & d & a & −b \\ d & −c & b & a \end{matrix} )

5 A は成分が整数である n 次正方行列とする. このとき, 以下の問に答えよ.

(1) A が正則かつ A^{−1} の成分が整数であるならば, detA = ±1 であることを示せ.

(2) 逆に, detA = ±1 であるならば, A^{−1} の成分は整数であることを示せ.