A relation between two subfactors arising from a non-degenerate commuting square

—An answer to a question raised by V. F. R. Jones—

佐藤信哉（東大数理）

1 V. F. R. Jones の問題

V. F. R. Jones は１９９５年７月のデンマークでの研究集会において次の問題を出した．まず，次のような有限次元 non-degenerate commuting square を考える．

\begin{aligned}R_{00} & ⊂ & R_{01} \\ ∩ & & ∩ \\ R_{10} & ⊂ & R_{11} \end{aligned}

すなわち， R_{00}, R_{01}, R_{10}, R_{11} は有限次元 C^{∗}-algebra で， R_{11} は Markov trace を持つとする．さらに，それぞれの inclusion matrix は irreducible であるとする．この commuting square は，周期２を持つので， basic construction を繰り返して，次のような周期２の commuting square の列が得られる．

R_{00} ⊂ R_{01} ⊂ R_{02} ⊂ ⋯ ⊂ R_{0∞}
∩ ∩ ∩ ∩
R_{10} ⊂ R_{11} ⊂ R_{12} ⊂ ⋯ ⊂ R_{1∞}
∩ ∩ ∩ ∩
R_{20} ⊂ R_{21} ⊂ R_{22} ⊂ ⋯ ⊂ R_{2∞}
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
R_{∞0} ⊂ R_{∞1} ⊂ R_{∞2} ⊂ ⋯

ここで，横方向に basic constructon を繰り返すことにより， AFD II_{1} subfactor R_{0∞} ⊂ R_{1∞} を得る．同様にして，縦方向に basic construction を繰り返すことにより， AFD II_{1} subfactor R_{∞0} ⊂ R_{∞1} を得る．この２つの subfactor には関係があるか？また，一方の subfactor が finite depth であれば，もう一方もそうか? これが V. F. R. Jones の問題である．

この問題を私の論文 [S] で解決した．１つ目の問いに対しては，２つの subfator は同じ global index を持つことがわかった．また，２つ目の問いに対しては，肯定的的な答えを得た．いずれの問題にも， paragroup の手法を用いて解決した．以下，これを説明したい．

まず，上の問題を paragroup 理論の言葉を使って書き直す． G_{i} (i = 0, 1, 2, 3) を下の図のように配置された finite, bipartite, connected graph とする．ただし， G_{0} と G_{2} (G_{1} と G_{3}) は共通の Perron-Frobenius 固有値を持つとし， G_{0} の even vertex の集合 V_{0} には distinguished vertex ∗ があるとする．また， W を上の４つのグラフ上の biunitary connection とする．

G_{2}^{G_{0}}^{G_{3}}  ^{G_{1}} W^{∗}

これに string algebra construction を適用すると，次のような有限次元 C^{∗}-algebra の２重増大列を得る．

A_{0,0} ⊂ A_{0,1} ⊂ A_{0,2} ⊂ ⋯ ⊂ A_{0,∞}
∩ ∩ ∩ ∩
A_{1,0} ⊂ A_{1,1} ⊂ A_{1,2} ⊂ ⋯ ⊂ A_{1,∞}
∩ ∩ ∩ ∩
A_{2,0} ⊂ A_{2,1} ⊂ A_{2,2} ⊂ ⋯ ⊂ A_{2,∞}
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
A_{∞,0} ⊂ A_{∞,1} ⊂ A_{∞,2} ⊂ ⋯

以下，議論したいのは２つの AFD II_{1} subfactor A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} と A_{∞,0} ⊂ A_{∞,1} の関係である．

2 Compactness argument と flatness

上で構成された AFD II_{1} subfactor の増大列 A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} ⊂ A_{2,∞} ⊂ A_{3,∞} ⊂ ⋯ は， A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} の basic construction から得られることが知られている ([O3])．さらに，これらの higher relative commutant は，次のように string の言葉で記述できることが知られている．これは， A. Ocneanu の compactness argument と呼ばれている．

Theorem 2.1

A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} = {  |  =  }

ここで， id^{(2n)} = ∑_{ξ,|ξ|=2n}(ξ, ξ) ∈ A_{0,2n} であり， 2n は G_{0} の depth より大きい任意の偶数である．

すなわち， A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} は，埋め込んだ後の connection による同一視で形を変えない G_{3} 上の長さ k の string 全体で与えられる．これより特に，次の inclusion が得られる．

A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} ⊂ A_{0,k}

Definition 2.2 A_{0,k} ∋ ∀σ に対して，次の式を満たすような z が存在する時， biunitary connection W は， ∗ について flat であるという．

=

また， A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} を flat part， z = {z(x)}_{x∈V_{0}} を G_{3} 上の flat field という．

Flat part については，次の事実が知られている．

Proposition 2.3 ([E-K], Proposition 3.1) {A_{k,l}}_{k,l≥0} を biunitary connection W から得られる string algebra とする．このとき，次の図式は周期２の commuting square になる．

\begin{aligned}A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} & ⊂ & A_{k,0} \\ ∩ & & ∩ \\ A′_{0,∞} ∩ A_{k+1,∞} & ⊂ & A_{k+1,0} \end{aligned}  (2.1)

この Proposition により，上の commuting square から biunitary connection が得られる．これを W′ と表すことにする．さらに，次の図式も周期２の commuting square を成すことがわかる．

\begin{aligned}A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} & ⊂ & A_{k,1} \\ ∩ & & ∩ \\ A′_{0,∞} ∩ A_{k+1,∞} & ⊂ & A_{k+1,1} \end{aligned}  (2.2)

この commuting square に対応する biunitary connection を W′ · W と表すことにする．また， G を A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} の principal graph とし， G の even vertex の集合 V′_{0} の元で， A_{0,∞}-A_{0,∞} bimodule A_{0,∞} に相当するものを ∗′ で表す．

G_{2}^{G_{0}}^{G_{3}}  ^{G_{1}} W^{∗}^{G}  ^{G′_{2}}^{G′_{0}} W′^{∗′}

上の記号の下で，次の主定理を得る．

Theorem 2.4 Subfactor A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} が finite depth であるとする．この時， connection W′ · W は ∗′ について flat である．

Proof. A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} ∋ σ^{0} に対して， z(∗) = σ^{0} となる z = {z(x)}_{x∈V′_{0}} を作ればよい．

σ^{0} に canonical shift Γ([O1],[B2]) を n 回施す．ただし， n は十分大きいものとする．すると， Γ^{n}(σ^{0}) ∈ A′_{2n,∞} ∩A_{k+2n,∞} である． A′_{2n,∞} ∩A_{k+2n,∞} ⊂ A′_{0,∞} ∩A_{k+2n,∞} であり， Γ^{n}(σ^{0}) は A_{2n,∞} の任意の元と可換なので，次の形をしている．

Γ^{n}(σ^{0}) =

この図に現れる長さ k の部分を z = {z(x)}_{x∈V′_{0}} と表すことにする．この時， Γ^{n} の性質により， z(∗) = σ^{0} である．また， Γ^{n}(σ^{0}) は A′_{0,∞} ∩ A_{k+2n,∞} の元なので， compactness argument により， A_{k+2n,0} の元と自然に同一視できる．したがって， connection W′ による同一視で，次の等式が成立する．

=

さらに，この string を埋め込むと， σ は flat field なのであるから， connection W による同一視で，次の等式が成立する．

=

これを再び埋め込んで， connection W′ による同一視で次のようになる．

=

{C_{p,q}}_{p,q≥0} を connection W′ · W による ∗′ を出発点とする string algebra とする． C_{2n,2} において， id^{(2n)} · z と C_{2n,1} の任意の元は可換であり，また， e ∈ C_{2n,2} とも可換であること，及び C_{2n,2} が C_{2n,1} と Jones projection e により生成されることから， id^{(2n)} · z は C_{2n,2} の任意の元と可換であることがわかる．ここで， · は path の連接を表す．したがって，これよりξ = id^{(1)} がわかる．

以上より， connection W′ · W による同一視で次の等式がわかった．

=

すると， compactness argument の証明と同様の議論（[O3], ３３ページの１１行目）により，上の等式から z = z′ が従う．これが示したかったことである． □

3 主定理の応用– Jones の問題の回答

ここでは，上の主定理の応用として， Jones の問題に対する回答と例を与える．

Corollary 3.1 (Jones の問題の回答) AFD II_{1} subfactor A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} あるいは A_{∞,0} ⊂ A_{∞,1} のいずれか一方が finite depth であれば，もう一方もそうである．

Proof. 条件の対称性より， A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} が finite depth の時だけを証明すればよい． B_{k} = A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞}とおくと，次の AFD II_{1} factor の inclusion が得られる．

B_{∞} ⊂ A_{∞,0} ⊂ A_{∞,1}

主定理により, W′ · W が ∗′ について flat なので， B_{∞} ⊂ A_{∞,1} の principal graph は元の finite graph G_{0} と W′ の horizontal graph G′_{0} を繋げたものに一致する．すなわち， AFD II_{1} subfactor B_{∞} ⊂ A_{∞,1} は finite depth である． Bisch の定理 ([B1], Theorem 2.6) により, A_{∞,0} ⊂ A_{∞,1} も finite depth である． □ 次に，もう１つのの Jones の問題の回答を与える．今考えている２つの subfactor の Jones index についての一般的な関係は望めないこと

は容易に分かる．そこで， Jones index に代わる不変量として次に定義する global index がある．

Definition 3.2 AFD II_{1} subfactor N ⊂ M の global index とは，

∑_{_{M} X_{M}:irreducible}(dim _{M}X_{M})^{2}

で定義される実数であり，これを [[M : N]] と表す．

次の Lemma は bimodule の既約分解を使えば容易に証明される．

Lemma 3.3 AFD II_{1} subfactor N ⊂ M が Jones index 有限であり， intermediate subfactor P が存在すると仮定する．この時， [[M : P]] ≤ [[M : N]] が成り立つ．

主定理とこの Lemma より，次の結果が示される．

Corollary 3.4 ２つの AFD II_{1} subfactor A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞}， A_{∞,0} ⊂ A_{∞,1} の global index は等しい．

Proof. まず始めに， A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} が finite depth であるとする． B_{∞} ⊂ A_{∞,1} の principal graph と A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} の principal graph は共通の even vertex を持つことに注意する. この注意と上の Lemma から， global index についての次の不等式を得る．

[[A_{∞,1} : A_{∞,0}]] ≤ [[A_{∞,1} : B_{∞}]] = [[A_{1,∞} : A_{0,∞}]]

対称性により， [[A_{∞,1} : A_{∞,0}]] ≥ [[A_{1,∞} : A_{0,∞}]]. したがって， [[A_{∞,1} : A_{∞,0}]] = [[A_{1,∞} : A_{0,∞}]].

次に， A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} が infinite depth であるとする．この時，上の Corollary より， A_{∞,0} ⊂ A_{∞,1} も infinite depth である，これらの subfactor の global index はその定義により，共に無限大である． □

Remark 3.5 Flat part と元の A_{0,k} を繋ぐ horizontal graph G_{0}, G′_{0} は有限とは限らないのであるが，これらが共に有限である時には，上の主定理と同様にして W′ 自身が flat であることがわかる．

Example 3.6 E_{7} commuting square を考える．すなわち，４つの graph が Dynkin diagram E_{7} であり，その上の biunitary connection を考える．この時， biunitary connection は，同型を除いて２つ存在し，いずれも flat でないことが知られている．そして，この biunitary connection の flat part B_{k} = A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} は， Evans-Kawahigashi([E-K]) によって既に調べられており， principal graph は Dynkin diagram D_{10} である事が分かっている．元の縦の graph E_{7} と flat part の graph D_{10} を繋ぐ horizontal graph G′_{0} は， Bratteli diagram の入りかたから，やはり Dynkin diagram D_{10} であり，その繋ぎかたは下図で与えられることがわかる．

∗ ; D_{10} ; E_{7}

主定理により， AFD II_{1} subfactor B_{∞} ⊂ A_{∞,1} の principal graph は上の D_{10} と E_{7} を繋げたものであり，次の図で与えられる．

∗

参考文献

[B1] D. Bisch, A note on intermediate subfactors, Pacific. J. Math. 163 (1994), 201–216.

[B2] D. Bisch, Bimodules, higher relative commutants and the fusion algebra associated to a subfactor, preprint, (1995).

[E-K] D. E. Evans & Y. Kawahigashi, The E_{7} commuting square produce D_{10} as principal graph, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 30 (1994), 151–166

[G-H-J] F. Goodman, P. de la Harpe, & V. F. R. Jones, “Coxeter graphs and towers of algebras”, MSRI publications 14, Springer, (1989).

[J] V.F.R. Jones, Index of subfactors, Invent. Math. 72 (1983), 1–15.

[K] Y. Kawahigashi, On flatness of Ocneanu’s connections on the Dynkin diagrams and classification of subfactors, J. Funct. Anal. 127 (1995), 63–107.

[O1] A. Ocneanu, Quantized group, string algebras and Galois theory for algebras, in “Operator algebras and applications, Vol. 2 (Warwick, 1987),” London Math. Soc. Lect. Note Series Vol. 136, Cambridge University Press, (1988), pp. 119–172.

[O2] A. Ocneanu, “Graph geometry, quantized groups and nonamenable subfactors”, Lake Tahoe Lectures, June–July, (1989).

[O3] A. Ocneanu, “Quantum symmetry, differential geometry of finite graphs and classification of subfactors”, University of Tokyo Seminary Notes 45, (Notes recorded by Y. Kawahigashi), (1991).

[P1] S. Popa, Classification of subfactors: reduction to commuting squares, Invent. Math. 101 (1990), 19–43.

[P2] S. Popa, Classification of amenable subfactors of type II, Acta Math., 172 (1994), 163–255.

[S] N. Sato, A relation between two subfactors arising from a non-degenerate commuting square —An answer to a question raised by V. F. R. Jones— , preprint, (1995)