A relation between two subfactors arising from a non-degenerate commuting square — An answer to a question raised by V. F. R. Jones —

東大数理佐藤信哉

§はじめに．

まずはじめに，この講演では， AFD II_{1} subfactor に関する話題を取り扱う．特に，キーワードとなるのは， commuting square, paragroup, flatness, tensor category, TQFT である．

1983 年に V. F. R. Jones により始められた subfactor 理論は，数学の他の分野及び数理物理のさまざまな分野と絡み合って，爆発的に発展してきた．中でも， subfactor から自然に得られる braid 群の表現から，結び目に対する新たな位相不変量 (Jones 多項式) を作り出した業績により， Jones は 1990 年に Fields 賞を受賞した． Jones は， AFD II_{1} subfactor N ⊂ M に対して，不変量である Jones index [M : N] を導入した．これは，体の拡大次数に相当する概念である．さらに，彼は，与えられた subfactor から Jones tower と呼ばれる AFD II_{1} subfactor の増大列 N ⊂ M ⊂ M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ ⋯ を構成し (basic construction)，そこから自然に得られるグラフである principal graph と呼ばれる不変量を導入した．一方， AFD II_{1} subfactor を構成する方法として， commuting square と呼ばれるある種の 4 つの von Neumann algebra の inclusion を使う方法が知られていた．これらのデータの構造を見ぬき，公理化したものが， 1987 年に A. Ocneanu によって導入された paragroup である． Paragroup は， 2 つの有限グラフとその上で定義されたある種の unitarity を満たす biunitary connection と呼ばれる複素数値関数といくつかの公理よりなる． Biunitary connection があるとそこから Jones index 有限な AFD II_{1} subfactor が構成できる (string algebra construction)．今構成した， Jones index 有限な AFD II_{1} subfactor N ⊂ M から，群の表現論の類似で paragroup のデータが得られる．ここで， biunitary connection が paragroup の公理の一つである flatness を満たしていれば，このデータは，元の情報を回復するのに十分な情報を含んでいることが知られる．いいかえれば， paragroup は， AFD II_{1} subfactor の完全不変量なのである．

§V. F. R. Jones の問題

V. F. R. Jones は， 1995 年 7 月のデンマークにおける研究集会で，次の問題を提出した．次の周期 2 の有限次元 non-degenerate commuting square を考える．

\begin{aligned}R_{00} & ⊂ & R_{01} \\ ∩ & & ∩ \\ R_{10} & ⊂ & R_{11} \end{aligned}

これに basic construction を繰り返し施して，次の周期 2 の commuting square の列を得る．

R_{00}  ⊂  R_{01}  ⊂  R_{02}  ⊂ ⋯ ⊂ N = R_{0∞}
∩  ∩  ∩  ∩
R_{10}  ⊂  R_{11}  ⊂  R_{12}  ⊂ ⋯ ⊂ M = R_{1∞}
∩  ∩  ∩  ∩
R_{20}  ⊂  R_{21}  ⊂  R_{22}  ⊂ ⋯ ⊂ M_{1} = R_{2∞}
⋮  ⋮  ⋮  ⋮
P = R_{∞0} ⊂ Q = R_{∞1} ⊂ Q_{1} = R_{∞2} ⊂ ⋯

この時， 2 つの subfactor N ⊂ M, P ⊂ Q に関係があるか？特に， N ⊂ M の principal graph が有限であれば， P ⊂ Q もそうか? という問題を出した．私は，この問題を解決した [S1]. 初めの問題に対する解答は， 2 つの subfactor は等しい global index 持つということである．ここで， global index は A. Ocneanu によって導入された概念であり，量子群の量子次元の二乗和の平方根に相当するものである．もう一つの問題に対しては，肯定的な解答を得た．いずれの解答も paragroup における flatness に対して新しい定理を証明し，その系として上の結果が得られる．また，この応用として，今までにない principal graph を得ることが出来た．

§Tensor category と TQFT

最近，前の§における 2 つの subfactor の関係を発展させ，さらなる関係を調べた [S2]．その結果， 2 つの subfactor から得られる TQFT は，互いに複素共役である事がわかった．特に良い状況下では， N ⊂ M から得られる N-N bimodule のなす tensor category は， P ⊂ Q から得られる P -P bimodule のそれと複素共役になっていることもわかった．この応用として， N ⊂ M を asymptotic inclusion に通した時に得られる subfactor M ∨(M′∩M_{∞}) ⊂ M_{∞} の M_{∞}-M_{∞} bimodule のなす tensor category と P ⊂ Q を asymptotic inclusion に通した時に得られる subfactor Q ∨ (Q′ ∩ Q_{∞}) ⊂ Q_{∞} の Q_{∞}-Q_{∞} bimodule のなすそれは同型である事が分かった．

§おわりに

参考文献にある私の論文およびそれらに関する講演記録の dvi file を私のホームページから入手することが出来ます． URL および私の e-mail address は，下記の通りです．

http://www.ms418ss5.ms.u-tokyo.ac.jp/~nobuya/
nobuya@ms.u-tokyo.ac.jp

参考文献 [E-K1] D. E. Evans & Y. Kawahigashi, The E_{7} commuting squares produce D_{10} as principal graph, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 30 (1994), 151–166. [E-K2] D. E. Evans & Y. Kawahigashi, From subfactors to 3-dimensional topological quantum field theories and back — A detailed account of Ocneanu’s theory —, Internat. J. Math. 6 (1995), 537–558. [E-K3] D. E. Evans & Y. Kawahigashi, On Ocneanu’s theory of asymptotic inclusions for subfactors, topological quantum field theories and quantum doubles, Internat. J. Math. 6 (1995), 205–228. [G-H-J] F. Goodman, P. de la Harpe, & V. F. R. Jones, “Coxeter graphs and towers of algebras”, MSRI publications 14, Springer, (1989).

[J] V. F. R. Jones, Index for subfactors, Invent. Math. 72 (1983), 1–15.

[K] Y. Kawahigashi, On flatness of Ocneanu’s connections on the Dynkin diagrams and classification of subfactors, J. Funct. Anal. 127 (1995), 63–107.

[O1] A. Ocneanu, Quantized group, string algebras and Galois theory for algebras, in “Operator algebras and applications, Vol. 2 (Warwick, 1987),” London Math. Soc. Lect. Note Series Vol. 136, Cambridge University Press, (1988), pp. 119–172.

[O2] A. Ocneanu, “Quantum symmetry, differential geometry of finite graphs and classification of subfactors”, University of Tokyo Seminary Notes 45, (Notes recorded by Y. Kawahigashi), (1991).

[S1] N. Sato, Two subfactors arising from a non-degenerate commuting square — An answer to a question raised by V. F. R. Jones —, preprint, 1995.

[S2] N. Sato, Two subfactors arising from a non-degenerate commuting square II — Tensor categories and TQFT’s —, to appear in Internat. J. Math.