A relation between two subfactors arising from a non-degenerate commuting square

— An answer to a question raised by V. F. R. Jones —

佐藤信哉 (東大数理) ^{∗}

今回の講演では， paragroup 理論を概説し，その応用として V. F. R. Jones の問題が解ける事を説明し，さらにその 3 次元の toplogical quantum field theory (TQFT) と tensor category についての関係を説明する．

§1 Commuting square と V. F. R. Jones の問題

Jones の問題を説明するために，次の定義からはじめよう. 定義 1((有限次元)commuting square)

A, B, C, Dを (有限次元） von Neumann algebras とし， D上の normalized trace を tr とする．この時， 4 つの環の inclusion

ι_{B}
A ⊂ B
E_{A} ∩  ∩ E_{B}
C ⊂ D
ι_{D}

が commuting square をなすとは， C上でι_{B} ∘ E_{A} = E_{B} ∘ ι_{D}が成り立つ時を言う．ここで， ι, Eはそれぞれ， inclsuion map, trace についての conditional expectaion を表す.

V. F. R. Jones の問題（1995 年 6 月, デンマーク）

R_{i,j} (i,j = 0, 1) を有限次元 von Neumann algebras とし，これらが次のように nondegenerate commuting square を成しているとする．

A
R_{00} ⊂ R_{01}
D ∩  ∩ B
R_{10} ⊂ R_{11}
C

ただし， A,B,C,Dは inclusion matrices であり，既約であるとする. （すなわち， inclusion に現れるグラフが連結であるとする．）これらに， basic construction を繰り返すことにより，次の von Neumann algebras の 2 重増大列を得る．

∗e-mail address: nobuya@ms.u-tokyo.ac.jp

R_{00}  ⊂  R_{01}  ⊂  R_{02}  ⊂ ⋯ ⊂ \overline{∪_{n=0}^{∞}R_{0n}}^{weak} = N
∩  ∩  ∩  ∩
R_{10}  ⊂  R_{11}  ⊂  R_{12}  ⊂ ⋯ ⊂ \overline{∪_{n=0}^{∞}R_{1n}}^{weak} = M
∩  ∩  ∩  ∩
R_{20}  ⊂  R_{21}  ⊂  R_{22}  ⊂ ⋯ ⊂ \overline{∪_{n=0}^{∞}R_{2n}}^{weak} = M_{1}
⋮  ⋮  ⋮  ⋮
P = \overline{∪_{n=0}^{∞}R_{n0}}^{weak} ⊂ Q = \overline{∪_{n=0}^{∞}R_{n1}}^{weak} ⊂ Q_{1} = \overline{∪_{n=0}^{∞}R_{n2}}^{weak} ⊂ ⋯

ここで， N ⊂ M ⊂ M_{1} ⋯および P ⊂ Q ⊂ Q_{1} ⋯ は AFD II_{1} factors であることが incluson matrices の既約性と Perron-Frobenius の定理からわかる．

Jones が出した問題とは，上のようにして作られた二つの subfactor N ⊂ Mと P ⊂ Q の間の関係を求めよ，特に，一方が finite depth であれば, もう一方もそうか，というものであった．

私は，この問題を paragroup 理論を使って解決した．これについて説明したいのだが，その前に， paragroup 理論の概略について説明する.

§2 Paragroup 理論

Paragroup とは可解格子模型，共形場理論，量子群， TQFT といった分野における tensor category の subfactor 版であり， 1987 年に A. Ocneanu によって導入された概念である. その名のとおり，群の一般化（=量子化）なのであるが，そのことは後で説明する事にする. より具体的には， paragroup とは， 3 つ組み (G, H, W) である．ここで， G, Hは finite, connected, bipartite graphs であり， W はその上で定義された複素数値関数であり， connection と呼ばれる. これらがいくつかの公理を満たすとき， paragroup と呼ばれる.

以下， paragroup の公理を説明して行こう.

2.1 String algebras と biunitary connection

String algebras

G を finite, connected bipartite graph とし，その上の頂点を一つ選びこれを∗とラベル付ける．今グラフは bipartite なので，グラフの頂点は∗を持つ側と持たない側に二つ折りにして表す事ができる．この∗を含む側にある頂点の集合を even vertices と呼び，他方を odd vertices と呼ぶことにする． G を odd vertices に関してひっくり返したグラフをG̃とし，これと元の G を G の odd vertices のところにそのままくっつける．これを繰り返して， G,G̃,G,G̃,G,G̃, ⋯なるグラフを得る．そして，このグラフの一番先頭の∗から下へ向かって出発して，たどり着く部分だけを考える. 言い換えれば， ∗から出発する（さかのぼることのない） path を考える．この path に対して，終点を共にする長さが kの path のペア (σ_{+}, σ_{−}) を考え，これを string という． String を基底に持つ C 上の vector space を A_{k} とし，これに積構造と∗-構造をそれぞれ次のように定義する.

(σ_{+}, σ_{−}) · (ρ_{+}, ρ_{−}) = δ_{σ_{−},ρ_{+}}(σ_{+}, ρ_{−}), (σ_{+}, σ_{−})^{∗} = (σ_{−}, σ_{+})

これにより， A_{k}は有限次元 C^{∗}-algebra になる．さらに， A_{k}から A_{k+1}への埋め込みι_{k+1} は， ι_{k+1}((σ_{+}, σ_{−})) = ∑_{|ρ|=1}(σ_{+} · ρ, σ_{−} · ρ) と表せる. ここで， | · | は path の長さを， σ_{+} · ρの · は path の連接をそれぞれ表す. 注意すべきは A_{k}の normalized trace tr_{A_{k}}はこの埋め込みと compatible であるという事である. この A_{k}を string algebra という．これにより，有限次元 von Neumann algebra の増大列を C = A_{0} ⊂ A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ A_{3} ⊂ ⋯ ⊂ \overline{∪_{n=0}^{∞}A_{n}}^{weak} = A_{∞} を得る． Perron-Frobenius の定理から， A_{∞}は AFD II_{1} factor であることがわかる． Biunitary connection

先程はただ一つのグラフの上で string algbera を構成したが，次のように 4 つの異なるグラフが絡み合っている場合にも同様に構成できる事はすぐ分かるであろう. しかし，このままでは，「同一視」が出来ていない. このために必要なのが connection W の biunitarity である．

G_{0} G_{2} G_{3}  G_{1}^{∗}

上の図において， G_{0}， G_{2}は finite, connected, bipartite graph で，共通の Perron-Frobenius 固有値 βを持ち， G_{1}， G_{3}は finite, bipartite graph で，共通の Perron-Frobenius 固有値β′を持つとする．

Connection W とは，上のグラフ G = ∪_{i=0}^{3}G_{i}上の複素数値関数である. すなわち， 4 つの頂点と 4 つの長さ 1 の辺から出来る 4 角形 (=cell) に対して，複素数を一つ定めるのである. そして，その値を図で次のように表す.

W : c  d a σ_{1} σ_{4} σ^{3} σ^{2} b ⟶ W ( c  d a σ_{1} σ_{4} σ^{3} σ^{2} b ) = [figure: c; d; a; σ_{1}; σ_{4}; σ_{3}; σ_{2}; b]

この connection の定義域は cell であるが，辺がひっくり返った場合は次の式で値を定義する (Renormalization rule axiom).

[figure: a; b; c; σ_{4}; σ_{1}; σ̃_{3}; σ̃_{2}; d] = \sqrt{\frac{μ(a)μ(d)}{μ(b)μ(c)}} [figure: c; d; a; σ_{1}; σ_{4}; σ_{3}; σ_{2}; b] = [figure: d; c; b; σ̃_{1}; σ̃_{4}; σ_{2}; σ_{3}; a] .

ただし，上でμ(·) とあるのは， Perron-Frobenius 固有ベクトルである．この connection が次の条件 (Unitarity axiom) を満たす時， biunitary connection という．

∑_{c,σ_{3},σ_{4}} [figure: c; d; a; σ_{1}; σ_{4}; σ_{3}; σ_{2}; b] [figure: c; d; a; σ′_{1}; σ_{4}; σ_{3}; σ′_{2}; b′] = δ_{b,b′}δ_{σ_{1},σ′_{1}}δ_{σ_{2},σ′_{2}},

∑_{b,σ_{1},σ_{2}} [figure: c; d; a; σ_{1}; σ_{4}; σ_{3}; σ_{2}; b] [figure: c′; d; a; σ_{1}; σ′_{4}; σ′_{3}; σ_{2}; b] = δ_{c,c′}δ_{σ_{3},σ′_{3}}δ_{σ_{4},σ′_{4}}.

注意すべきは， binutary connection の存在と commuting square 条件は同値であるという事である.

2.2 String algebra construction と flatness

先程，グラフを折り返す事により string algebra A_{k}を構成した．今度は， 4 つのグラフとその上の biunitary connection がある場合を考えよう．横方向，縦方向に折り返す事を繰り返して，次の大きなグラフを得る.

G_{0} G̃_{0} G_{0} G_{2}  G̃_{2} G_{2} G_{0}  G̃_{0} G_{0} G_{2} G̃_{2} G_{2} G_{3} G̃_{3} G_{3}  G_{1} G̃_{1} G_{1} G_{3} G̃_{3} G_{3} G_{1} G̃_{1} G_{1}

これより， 1 つのグラフから作った時と同様にして，今度は有限次元 von Neumann algebras の二重増大列を得る．

A_{0,0} ⊂ A_{0,1} ⊂ A_{0,2} ⊂ ⋯ ⊂ A_{0,∞}
∩ ∩ ∩ ∩
A_{1,0} ⊂ A_{1,1} ⊂ A_{1,2} ⊂ ⋯ ⊂ A_{1,∞}
∩ ∩ ∩ ∩
A_{2,0} ⊂ A_{2,1} ⊂ A_{2,2} ⊂ ⋯ ⊂ A_{2,∞}
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
A_{∞,0} ⊂ A_{∞,1} ⊂ A_{∞,2} ⊂ ⋯

ここで，例えば A_{1,2}を構成するには，さまざまな方法があるが，これらはみな biunitary connection によって同一視されているのである．そして， Perron-Frobenius の定理より， AFD II_{1} subfactor A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞}の Jones index は β^{2}で与えられる，という事 (Wenzl)，および A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} ⊂ A_{2,∞} ⊂ ⋯は Jones tower になっているという事 (Ocneanu) が知られている．さらに， subfactor A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞}が strongly amenable の時， higher relative commutants の inclusion の列 {A′_{1,∞} ∩ A_{k,∞} ⊂ A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞}} は，元の subfactor を復元するのに十分な情報を含んでいることが知られている (Popa’s generating property)．このことから， higher relative commutants が極めて重要な対象であることがわかる．そして， paragroup の公理の中で最も重要な概念である flatness はこの higher relative commutants と密接に関わっているのである．それが Ocneanu の compactness argument である．定理 1(Ocneanu’s compactness argument) A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} ⊂ A_{k,0}が常に成り立つ.

これに対して， flatness は次のように定義される.

定義 2(flatness)

A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} = A_{k,0}がすべての kについて成り立つ時， biunitary connection W は∗について flat であるという．

例えば， subfactor N ⊂ Mから得られる canonical commuting square は∗ = _{N}N_{N},∗ = MM_{M} について flat な biunitary connection を持つことが知られている. このように， subfactor から得られる biunitary connection は， 2 つの∗を持っている. これと同様に biunitary connection W も 2 つの∗を持っている. 定義 3(paragroup)

Biunitary connection が両方の∗について flat である場合， 3 つ組み (G, H, W) を paragroup という．

ここで，なぜ paragroup(=群もどき) といわれるか，説明しよう.

Rを AFD II_{1} factor， G を有限群， αを G の R上の outer action とする．このとき， R ⊂ R ×_{α} G は AFD II_{1} subfactor となる．このとき， paragroup (G, H, W) は次のようにして群の言葉で与えられる.

∗  ^{∗} ^{ℓ^{2}(G)}  ^{R(G)} principal graph G  dual principal graph H

flat biunitary connection [figure: ρ; g; i; j] = ρ_{ij}(g)

一般には，もちろんこのようにはならないが， subfactor は「paragroup による接合積」で表せると解釈すれば， group と paragroup の対応は次の表で与えられる.

group  paragroup
set G  principal graph G
Irreducble representations Ĝ  dual principal graph H
non-degenerate pairing G × Ĝ ⟶ C biunitary connection W
(co)associativity  flatness

すなわち， paragroup は G とその表現Ĝをあわせたような構造を持っているのである．有限群による接合積の場合は subfactor の対称性が元の有限群 G で与えられているのである. この意味で， paragroup は (有限群の) 「量子化」と思え，また，「量子化されたガロア群」と思えるのである.

もっと量子化された状況を見てみよう.

N ⊂ M, [M : N] < 4, N′ ∩ M = C とする．この時， Jones index の取りうる値の範囲は， \{4 cos^{2} \frac{π}{n}|n = 3, 4, 5, ⋯\} であり， principal graph と dual principal graph は同一であることがわかり，さらに，取りうるグラフは Dynkin diagram の A 型, D型, E_{6}型, E_{7}型, E_{8}型である事も知られている (Jones). この場合に， biunitary connection と flat biunitary connection の個数は次の関係にある事が知られている.

A_{n} D_{2n} D_{2n+1} E_{6} E_{7} E_{8}
biunitary connection  1 1  1  2 2 2
flat biunitary connection 1 1  0  2 0 2

§3 Jones の問題の解決

さて，問題の設定は， paragroup 理論の言葉でいえば， §2 のように 4 つのグラフとその上の biunitary connection が与えられた時，縦方向，横方向に string algebra を構成して得られる AFD II_{1} subfactors N ⊂ M, P ⊂ Q の関係を求めよという事になる. ここで， 4 つのグラフは先程の一般論とは違い全て連結なグラフである事に注意しよう.

解決の糸口になるのが次の定理である. 定理 2([E-K1], Proposition 3.1) B_{k} = A′_{0,∞} ∩ A_{k,0}とおく．このとき，次の inclusion は周期 2 の commuting square をなす．

B_{k} ⊂ A_{k,0}
∩  ∩
B_{k+1} ⊂ A_{k+1,0}

この定理により，次の inclusion も周期 2 の commuting square になる事が分かる.

B_{k} ⊂ A_{k,1}
∩  ∩
B_{k+1} ⊂ A_{k+1,1}

この commuting square から， biunitary connection が得られる. これを W_{♭}としよう．また， subfactor N = A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} = M の principal graph を Gとおく．ここで， Gには，自然に_{N}N_{N} なる∗′があることに注意しよう.

Jones の問題に対する解決の主定理は，次のように述べられる. 定理 3([S1], Theorem 2.1) Gが有限ならば， W_{♭}は∗′について flat である．

この定理と Bisch の定理を組み合わせて， Jones の問題の解決を得る. 系 4(Jones の問題の解答, [S1], Corollary 2.2) N ⊂ Mが finite depth となるのは P ⊂ Q が finite depth のときに限る. Global index

上で考えた 2 つの subfactors の間には, もはや Jones index についての関係は望めない事はすぐに分かるが，それに替わる関係として global index がある．定義 4(global index) Subfactor N ⊂ Mに対して， global index [[M : N]] を次の式で定義する.

[[M : N]] = ∑_{_{N} X_{N}:irreducible}(dim_{N}X)(dimX_{N})

ここで，_{N}X_{N}は subfactor N ⊂ Mから得られる既約 N-N bimodule である．

Global index について，いくつか注意しておくと，まず， global index は N ⊂ Mの asymtotic inclusion subfactor M ∨ (M′ ∩ M_{∞}) ⊂ M_{∞}の Jones index を与える事が知られている．また，定義より， infinite depth の時は，値が無限大となることがわかる．

以上の準備の下に，次の定理が得られた．これは Jones のはじめの問題の解答を与える. 定理 5([S1], Corollary 2.5) [[M : N]] = [[Q : P]] 例 1(E_{7} commuting square)

E_{7} commuting square を考える．すなわち，４つの graph が Dynkin diagram E_{7} であり，その上の biunitary connection を考える．この時， biunitary connection は，同型を除いて２つ存在し，いずれも flat でないことが知られている．そして，この biunitary connection の flat part B_{k} = A′_{0,∞} ∩ A_{k,∞} は， Evans-Kawahigashi [E-K1] によって既に調べられており， principal graph は Dynkin diagram D_{10} である事が分かっている．元の縦の graph E_{7} と flat part の graph D_{10} を繋ぐ horizontal graph G′_{0} は， Bratteli diagram の入りかたから，やはり Dynkin diagram D_{10} であり，その繋ぎかたは下図で与えられることがわかる．

∗′ ; D_{10} ; E_{7}

主定理により， AFD II_{1} subfactor B_{∞} ⊂ A_{∞,1} の principal graph は上の D_{10} と E_{7} を繋げたものであり，次の図で与えられる．

∗′

§4 Tensor category と TQFT

このセクションでは， paragroup の TQFT への応用を与える. 状況は Jones の問題と同様であるが，以後， N ⊂ Mは finite depth であると仮定する．（したがって， P ⊂ Q も finite depth である． )

Subfactor N ⊂ Mがあると，そこから graded fusion rule algebra と quantum 6j-symbol を構成する事が出来る. 定理 6([S2], Theorem 2.3 W が∗-flat ならば， N-N bimodule のなす 6j-symbol をもつ tensor category と P -P bimodule のなすそれとは複素共役の関係にある．特に，それぞれの TQFT は互いに複素共役になる.

一般の場合には， tensor category についてはもはや何も言えないが，次のことが示せる．定理 7([S2], Theorem 2.4) N ⊂ Mから得られる TQFT と P ⊂ Q から得られるそれは複素共役である．例 2(Goodman-de la Harpe-Jones subfactor)

Dynkin diagrams A_{11}を E_{6}へ埋め込む Goodman-de la Harpe-Jones subfactor を考える [G-H-J, §4.5]． Paragroup 理論の言葉では，この subfactor は次の 4 つのグラフから構成される.

E_{6} A_{11} G_{1}  G_{2} W ∗

ここで，グラフ G_{1}と G_{2}は次の図で与えられる.

G_{1}  G_{2}

この 4 つのグラフの上には biunitary connection W が入るのだが，これは∗について flat であることが知られている. したがって，縦，横方向にそれぞれ subfactors N ⊂ M， P ⊂ Q を得るが，これらの principal graphs は元の G_{1}, A_{11}とそれぞれ同一のグラフである．この subfactor N ⊂ Mを Goodman-de la Harpe-Jones(GHJ) subfactor という．定理 6 を適用すれば， N ⊂ Mの N-N bimodule のなす 6j-symbol を持つ tensor category と P ⊂ Q の P -P bimodule のなすそれは複素共役の関係にある．すなわち， ∗-flat な場合には，左上の共通の頂点が既約 N-N bimodule，既約 P -P bimodule と同一視されるだけではなく， tensor category まで複素共役，特に fusion rule algebra は同型になってしまうのである．さらに，今は TQFT が互いに複素共役になるわけだが， Jones index が 4 未満の flat biunitary connection の分類から， P ⊂ Q と P^{op} ⊂ Q^{op}は共に principal graph が A_{11}の subfactor であり，しかも互いに anti-isomorphic であることがわかる．これにより， P ⊂ Q から得られる TQFT と P^{op} ⊂ Q^{op} から得られるそれは複素共役であることがわかる [E-K2]．以上により， N ⊂ M から得られる TQFT と P ⊂ Q から得られるそれは等しい実数値をとることが分かる．

最後に，定理 7 の応用として， asymptotic inclusion への応用が考えられる. Asymptotic inclusion は量子群における quantum double 構成法の subfactor 版であると考えられている. それというのは，有限群による接合積から得られる AFD II_{1} subfactorN ⊂ N × G に対して， asmptotic inclusion を施すとその M_{∞}-M_{∞} bimodule のなす algebra が G 上の関数環 F (G) の quantum double の表現環となっていることによる．

この M_{∞}-M_{∞} bimodule の既約分解は TQFT と密接に関わっている事が知られている. その結果，上の定理 7 を使えば，次の結果を示す事が出来る．系 8([S2], Corollary 2.5) N ⊂ M, P ⊂ Q それぞれに asymptotic inclusion を適用する．さらに，それぞれの fusion graph が連結であると仮定する. この時， M_{∞}-M_{∞} bimodule のなす 6j-symbol を持つ tensor category は Q_{∞}-Q_{∞} bimodule のそれと同型である.

このことは，標語的にいえば， non-degenerate commuting square から構成される縦，横それぞれの subfactor から作られる quantum double は同型である，ということである．先程と違って， flatness の仮定もつかず，また，複素共役でもない．これが “double” の効果の現れなのである.

参考文献

[E-K1] D. E. Evans & Y. Kawahigashi, The E_{7} commuting squares produce D_{10} as principal graph, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 30 (1994), 151–166. [E-K2] D. E. Evans & Y. Kawahigashi, From subfactors to 3-dimensional topological quantum field theories and back — A detailed account of Ocneanu’s theory —, Internat. J. Math. 6 (1995), 537–558. [E-K3] D. E. Evans & Y. Kawahigashi, On Ocneanu’s theory of asymptotic inclusions for subfactors, topological quantum field theories and quantum doubles, Internat. J. Math. 6 (1995), 205–228. [G-H-J] F. Goodman, P. de la Harpe, & V. F. R. Jones, “Coxeter graphs and towers of algebras”, MSRI publications 14, Springer, (1989).

[J] V. F. R. Jones, Index for subfactors, Invent. Math. 72 (1983), 1–15.

[K] Y. Kawahigashi, On flatness of Ocneanu’s connections on the Dynkin diagrams and classification of subfactors, J. Funct. Anal. 127 (1995), 63–107.

[O1] A. Ocneanu, Quantized group, string algebras and Galois theory for algebras, in “Operator algebras and applications, Vol. 2 (Warwick, 1987),” London Math. Soc. Lect. Note Series Vol. 136, Cambridge University Press, (1988), pp. 119–172.

[O2] A. Ocneanu, “Quantum symmetry, differential geometry of finite graphs and classification of subfactors”, University of Tokyo Seminary Notes 45, (Notes recorded by Y. Kawahigashi), (1991).

[S1] N. Sato, Two subfactors arising from a non-degenerate commuting square — An answer to a question raised by V. F. R. Jones —, to appear in Pac. J. Math.

[S2] N. Sato, Two subfactors arising from a non-degenerate commuting square II — Tensor categories and TQFT’s —, to appear in Internat. J. Math.

参考文献にある私の論文およびそれらに関する講演記録の dvi file を私のホームページから入手することが出来ます． URL は，下記の通りです．

http://ms418ss5.ms.u-tokyo.ac.jp/~nobuya/